Bogenlänge/Graph/Differenzierbar/Umkehrfunktion/Aufgabe/Lösung

Die Funktion ${}f$ ist wegen ${}f'(x)>0$ streng wachsend und insbesondere injektiv, und definiert aufgrund des Zwischenwertsatzes eine Bijektion zwischen ${}[a,b]$ und ${}[f(a),f(b)]$. Die Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ ist ebenfalls stetig differenzierbar mit

${}(f^{-1})'(y)=-{\frac {1}{f'(f^{-1}(y))}}\,.$

In dieser Situation können wir die Längenformel für den Graphen anwenden und erhalten mit der Substitution ${}y=f(x)$ (und ${}dy=f'(x)dx$)

${}{\begin{aligned}L(f^{-1})&=\int _{f(a)}^{f(b)}{\sqrt {1+((f^{-1})'(y))^{2}}}\,dy\\&=\int _{f(a)}^{f(b)}{\sqrt {1+{\frac {1}{(f'(f^{-1}(y)))^{2}}}}}\,dy\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+{\frac {1}{(f'(x))^{2}}}}}\,f'(x)\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {(f'(x))^{2}+1}}\,dx\\&=L(f).\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe