Bogenparametrisierte Kurve/Ebene/Krümmungskreis/Definition

Krümmungskreis

Es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und ${}t_{0}\in I$, wobei die zweite Ableitung ${}\gamma ^{\prime \prime }(t_{0})$ nicht ${}0$ sei. Dann nennt man den Kreis mit dem Radius

${}r={\frac {1}{\vert {\gamma _{1}'(t_{0})\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})-\gamma _{2}'(t_{0})\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})}\vert }}\,$

und dem Mittelpunkt

${}M=\gamma (t_{0})+{\frac {1}{\gamma _{1}'(t_{0})\gamma _{2}^{\prime \prime }(t_{0})-\gamma _{2}'(t_{0})\gamma _{1}^{\prime \prime }(t_{0})}}{\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t_{0})\\\gamma _{1}'(t_{0})\end{pmatrix}}\,$

den Krümmungskreis zu ${}\gamma$ in ${}t_{0}$.