Bogenparametrisierte Kurve/Gerade darüber/Isometrie/Beispiel

Es sei ${}\gamma \colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine differenzierbare bogenparametrisierte injektive Kurve mit der Bildkurve

${}C\subseteq V\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,,$

die in der offenen Teilmenge ${}V$ abgeschlossen sei. Dann ist die Abbildung

$\varphi =\gamma \times \operatorname {Id} _{\mathbb {R} }\colon ]a,b[\times \mathbb {R} \longrightarrow C\times \mathbb {R}$

eine Isometrie, wobei ${}]a,b[\times \mathbb {R}$ die natürliche euklidische Struktur und ${}C\times \mathbb {R}$ die riemannsche Untermannigfaltigkeitsstruktur ${}C\times \mathbb {R} \subseteq V\times \mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} ^{3}$ trägt. Die Abbildung bedeutet im Wesentlichen, dass ein Blatt Papier längs einer Basiskurve ausgebreitet wird. Die vertikalen Fasern ändern sich dabei nicht und die horizontalen Faser sind eine Kopie der Basiskurve. Das einfachste nichttriviale Beispiel ist die Verbiegung des Blattes zu einem geschlitzten Zylindermantel. Es ist anschaulich klar, dass sich dabei die Kurvenlängen auf den Flächen und Flächeninhalte nicht ändern. Dass eine Isometrie vorliegt, kann man wie folgt zeigen. Sei dazu ${}P=(s,t)\in ]a,b[\times \mathbb {R}$. Dann ist

${}{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(e_{1}\right)}={\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(s)\\\gamma _{2}'(s)\\0\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(e_{2}\right)}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\,,$

die beiden Bildvektoren der Standardvektoren haben also die Länge ${}1$ und stehen senkrecht aufeinander. Somit ist

$T_{P}(]a,b[\times \mathbb {R} )\longrightarrow T_{\varphi (P)}(C\times \mathbb {R} )$

eine Isometrie.