Boolescher Verband/Endlich/Einbettung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}A$ die Menge der Atome von ${}B$. Wir betrachten die Abbildung

$B\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(A),\,x\longmapsto {\left\{a\in A\mid a\preccurlyeq x\right\}}.$

Es ergibt sich aus Fakt, dass dies eine Bijektion ist. Dass ${}0$ auf die leere Menge und ${}1$ auf die Gesamtmenge geht, ist klar. Wegen der Eindeutigkeit der atomaren Darstellung führt diese Abbildung die ${}\sqcup$-Verknüpfung in die Vereinigung über. Es sei

${}x=a_{1}\sqcup \ldots \sqcup a_{n}\,$

und

${}y=b_{1}\sqcup \ldots \sqcup b_{m}\,.$

Dann ist nach dem allgemeinen Distributivgesetz und Fakt  (2)

${}x\sqcap y=(a_{1}\sqcup \ldots \sqcup a_{n})\sqcap (b_{1}\sqcup \ldots \sqcup b_{m})=\bigsqcup _{i,j}a_{i}\sqcap b_{j}=\bigsqcup c\,,$

wobei ${}c$ durch alle Atome läuft, die sowohl links als auch rechts vorkommen. Daher führt die Abbildung diese ${}\sqcap$-Verknüpfung in den Durchschnitt über.

Zur bewiesenen Aussage