Boolescher Verband/Endlich/Eindeutige Darstellung mit Atomen/Fakt/Beweis

Beweis

Jedes Element ${}x\in B$ ist nur größergleich endlich vielen Atomen, wir führen zum Nachweis der Existenz Induktion über diese Anzahl. Bei ${}x=0$ nimmt man die leere Vereinigung. Ein Atom wird durch sich selbst dargestellt. Es sei ${}x\neq 0$ ein beliebiges Element. Nach Fakt  (3) gibt es ein Atom ${}a\preccurlyeq x$. Wir betrachten

${}x'=x\sqcap \neg a\,.$

Wegen

${}x'\sqcap a=(x\sqcap \neg a)\sqcap a=x\sqcap (\neg a\sqcap a)=x\sqcap 0=0\,$

liegt ${}a$ nicht unterhalb von ${}x'$. Somit liegen unterhalb von ${}x'$ weniger Atome als unterhalb von ${}x$ und nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine Darstellung

${}x'=a_{1}\sqcup \ldots \sqcup a_{n}\,$

und damit

${}{\begin{aligned}x&=x\sqcap 1\\&=x\sqcap (\neg a\sqcup a)\\&=(x\sqcap \neg a)\sqcup (x\sqcap a)\\&=(x\sqcap \neg a)\sqcup a\\&=x'\sqcup a\\&=a_{1}\sqcup \ldots \sqcup a_{n}\sqcup a.\end{aligned}}$

Zur Eindeutigkeit. Sei

${}a_{1}\sqcup \ldots \sqcup a_{n}=b_{1}\sqcup \ldots \sqcup b_{m}\,.$

Nehmen wir an, dass ${}b_{1}$ nicht in der ersten Darstellung vorkommt. Dann ist

${}{\left(a_{1}\sqcup \ldots \sqcup a_{n}\right)}\sqcap b_{1}=(a_{1}\sqcap b_{1})\sqcup \ldots \sqcup (a_{n}\sqcap b_{1})=0\,$

nach Fakt  (2). Wenn man aber auf die rechte Seite ${}\sqcap b_{1}$ anwendet, so ergibt sich ${}b_{1}$, ein Widerspruch. Also kommen links und rechts die gleichen Atome vor.

Zur bewiesenen Aussage