Borel-Menge/R/Offene und abgeschlossene Überpflasterungen/Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Borel-Menge. Zeige, dass

${}\lambda (T)=\inf \,{\left({\left\{\sum _{i\in I}(b_{i}-a_{i})\mid T\subseteq \bigcup _{i\in I}[a_{i},b_{i}[,\,I{\text{ abzählbar}}\right\}}\right)}\,$

mit

$\inf \,{\left({\left\{\sum _{i\in I}(b_{i}-a_{i})\mid T\subseteq \bigcup _{i\in I}[a_{i},b_{i}],\,I{\text{ abzählbar}}\right\}}\right)}$

und mit

$\inf \,{\left({\left\{\sum _{i\in I}(b_{i}-a_{i})\mid T\subseteq \bigcup _{i\in I}]a_{i},b_{i}[,\,I{\text{ abzählbar}}\right\}}\right)}$

übereinstimmt.

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