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Borel-Menge/R/Offene und abgeschlossene Überpflasterungen/Aufgabe
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Es sei
T
⊆
R
{\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} }
eine
Borel-Menge
. Zeige, dass
λ
(
T
)
=
inf
(
{
∑
i
∈
I
(
b
i
−
a
i
)
∣
T
⊆
⋃
i
∈
I
[
a
i
,
b
i
[
,
I
abzählbar
}
)
{\displaystyle {}\lambda (T)=\inf \,{\left({\left\{\sum _{i\in I}(b_{i}-a_{i})\mid T\subseteq \bigcup _{i\in I}[a_{i},b_{i}[,\,I{\text{ abzählbar}}\right\}}\right)}\,}
mit
inf
(
{
∑
i
∈
I
(
b
i
−
a
i
)
∣
T
⊆
⋃
i
∈
I
[
a
i
,
b
i
]
,
I
abzählbar
}
)
{\displaystyle \inf \,{\left({\left\{\sum _{i\in I}(b_{i}-a_{i})\mid T\subseteq \bigcup _{i\in I}[a_{i},b_{i}],\,I{\text{ abzählbar}}\right\}}\right)}}
und mit
inf
(
{
∑
i
∈
I
(
b
i
−
a
i
)
∣
T
⊆
⋃
i
∈
I
]
a
i
,
b
i
[
,
I
abzählbar
}
)
{\displaystyle \inf \,{\left({\left\{\sum _{i\in I}(b_{i}-a_{i})\mid T\subseteq \bigcup _{i\in I}]a_{i},b_{i}[,\,I{\text{ abzählbar}}\right\}}\right)}}
übereinstimmt.
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