Butan/Automorphismengruppe/Beispiel

Wir wollen die Automorphismengruppe des chemischen Elementes Butan (bzw. der zugehörigen Darstellung als Graph ${}G$) bestimmen. Zunächst halten wir fest, dass die Benennung von einigen Knotenpunkten mit ${}C$ und mit ${}H$ (was natürlich eine chemische Bedeutung hat) keine eigenständige graphentheoretische Information dartellt, da sie ja aus dem Graphen direkt rekonstruierbar ist: Die Punkte mit dem Grad ${}4$ werden mit ${}C$ und die Punkte mit dem Grad ${}1$, also die Blätter, werden mit ${}H$ bezeichnet. In den folgenden Überlegungen werden wir zwecks Vereinfachung die chemischen Benennungen verwenden. Ein Automorphismus des Graphen führt ${}H$-Atome in ${}H$-Atome und ${}C$-Atome in ${}C$-Atome über, da der Grad bei einem Isomorphismus erhalten bleibt. Dies führt insbesondere zu einem Gruppenhomomorphismus

$\Psi \colon \operatorname {Aut} \,G\longrightarrow S_{4},$

wobei ${}S_{4}$ die Gruppe der Permutationen auf den vier ${}C$-Atomen und ${}\Psi$ die Einschränkung eines Automorphismus bezeichnet. Bei einem Automorphismus ${}\varphi$ des Moleküls wird also geschaut, was dieser mit den ${}C$-Atomen macht. Diese Gesamtzuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus. Die vier ${}C$-Atome haben zwar alle den Grad ${}4$, sie sind aber nicht gleichberechtigt, die beiden äußeren sind mit drei Blättern und die beiden inneren sind mit zwei Blättern verbunden. Wenn man die beiden inneren vertauscht, so muss man auch die beiden äußeren vertauschen, da ja bei einem Automorphismus Kanten erhalten bleiben. Deshalb ist das Bild von ${}\Psi$ die zyklische Gruppe

${}\mathbb {Z} /(2)=S_{2}\,$

(in der Tat ist die Spiegelung an der vertikalen Achse ein Automorphismus). Wir haben also einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

$\Psi \colon \operatorname {Aut} \,G\longrightarrow S_{2}.$

Dies erleichtert die Bestimmung der Automorphismengruppe, da man diese aufspalten kann nach solchen Automorphismen, die auf den ${}C$-Atomen identisch wirken, und solchen, die die ${}C$-Atome spiegeln. Aufgrund von gruppentheoretischen Gesetzmäßigkeiten gibt es von beiden Sorten gleich viele. Deshalb betrachten wir nur noch den Kern von ${}\Psi$. Es sei also ${}\varphi$ ein Automorphismus, der auf den ${}C$-Atomen identisch wirkt. Dann wird jedes ${}H$-Atom unter ${}\varphi$ auf ein ${}H$-Atom abgebildet, das mit dem selben ${}C$-Atom verbunden ist. Was unter ${}\varphi$ mit den an einem ${}C$-Atom hängenden ${}H$-Atomen passiert, ist unabhängig voneinander. Der Kern ist deshalb gleich

$S_{3}\times S_{2}\times S_{2}\times S_{3}$

und besitzt ${}144$ Elemente, die gesamte Automorphismengruppe besitzt ${}288$ Elemente.