C-Algebra/Diskreter Bewertungsring/Restklassenkörper ist C/Quotientenkörper modulo Ring/Aufgabe

Es sei ${}R$ eine ${}{\mathbb {C} }$-Algebra, die ein diskreter Bewertungsring ist, deren Restklassenkörper gleich ${}{\mathbb {C} }$ ist. Es sei ${}\pi$ eine Ortsuniformisierende. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Jedes Element ${}r\in R$ kann man als

   ${}r=\pi s+r_{0}\,$

   mit ${}r_{0}\in {\mathbb {C} }$ schreiben.

2. Zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ besitzt jedes Element ${}r\in R$ eine Darstellung

   ${}r=s_{n}\pi ^{n}+r_{n-1}\pi ^{n-1}+\cdots +r_{2}\pi ^{2}+r_{1}\pi +r_{0}\,$

   mit ${}r_{j}\in {\mathbb {C} }$ und ${}s_{n}\in R$.

3. Der Restklassenmodul ${}Q(R)/R$ ist isomorph zum ${}{\mathbb {C} }$-Vektorraum mit der Basis ${}\pi ^{-1},\pi ^{-2},\dots$.

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