C-Spektrum/Natürliche Topologie/Aufgabe

Es sei ${}R$ eine endlich erzeugte kommutative ${}{\mathbb {C} }$-Algebra. Zeige, dass es auf dem ${}{\mathbb {C} }$-Spektrum ${}{\mathbb {C} }\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ eine natürliche Topologie (oder komplexe Topologie) gibt, die im Falle des Polynomringes ${}{\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit der metrischen Topologie auf dem ${}{\mathbb {C} }^{n}$ übereinstimmt. Zeige ferner, dass zu einem ${}{\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ zwischen endlich erzeugten ${}{\mathbb {C} }$-Algebren ${}R$ und ${}S$ die induzierte Abbildung

${\mathbb {C} }\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\longrightarrow {\mathbb {C} }\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$

stetig in der natürlichen Topologie ist.

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