COVID-19/Mathematische Modellierung

Das folgende Lernmodul konzentriert sich auf die Einführung in die mathematische Modellierung und ist nicht dazu geeignet Vorhersagen zu treffen.

Kapazität des Gesundheitssystems und Reduktion der epidemiologischen Ausbreitung - Logistisches Wachstum

SIR Model - Animation

Animation: Räumliche Ausbreitung einer Infektion durch direkten Kontakt von sich bewegenden Fußgängern - (2020) Anna Hundertmark

Graph der Exponentialfunktion $y=e^{x}$ (rot) mit der Tangente (hellblau gestrichelte Linie) durch den Punkt 0/1

Standardisiertes logistisches Wachstum mit der dazugehörige Sigmoidfunktion i.e. $M=1,k=1,x_{0}=0$

Unterseiten

• Exponentielles Wachstum - ohne verlangsamende Wirkung durch eine beschränkte Population, Immunisierung durch Ausheilen oder Impfung, Verhaltensänderung in der Bevölkerung (z.B. Abstand halten, Maske tragen, Hygienemaßnahmen),
• Logistisches Wachstum - mit verlangsamender Wirkung (z.B. Immunisierung der Bevölkerung - mit Kapazitätsgrenze des Wachstums)
• Kompartimentmodelle betrachten den immunologischen Status innerhalb der Population, z.B. ob man
  • angesteckt werden kann (S=Susceptible), exponiert ist (E=Exposed),
  • bereits angesteckt worden ist (I=Infected) oder
  • die Krankheit ausgeheilt ist und man immun gegenüber einer weiteren Infektion mit dem Virus ist (R=Resistant).
• Räumliche Modellbildung, die epidemiologischen Einflüsse sind u.a. auch von räumlichen Aspekten abhängig, da
  • der immunologische Status räumliche Unterschiede aufweisen kann,
  • in unterschiedlicher Weise in bestimmten Regionen Interventionsmaßnahmen Risikominimierung angewendet werden oder
  • unterschiedlich hohe Kontaktraten zwischen den Menschen in der Region auftreten (z.B. zahlreiche Großereignisse oder durch die Lebensbedingungen, unter denen die Menschen leben und arbeiten müssen)
• Individuen-basierte Modelle betrachten Individuen, die im Raum unter Berücksichtigung von Epidemiologie miteinander und mit dem Raum interagieren.
• Krankheitsmodellierungszeitspanne, über den die Krankheitsentwicklung mathematisch beschrieben wird.

Wiki2Reveal-Folien

• COVID-19 Einführung - (Wiki2Reveal-Folien) - ,
• Modelle der Populationsdynamik - (Wiki2Reveal-Folien) - , (Anna Hundertmark - 2020)

Lernaufgaben

Logistisches Wachstum in der Epidemiologie als Geogebra-Applet

• (Vergleich logistische und exponentielle Wachstum) Vergleichen Sie exponentielles Wachstum und logistisches Wachstum und diskutieren Sie, welches Modell für die epidemiologische Ausbreitung der Krankheit besser geeignet ist (siehe auch Geogebra-Applet Athur Lee).
• (Krankheitsmodellierungszeitspanne) Versuchen Sie im Kartesischen Koordinatensystem, für eine Kurve zu zeichnen, die die Infektionswahrscheinlichkeit als Integral über die Wahrscheinlichkeitsdichte zu bestimmen.
• (Kapazität des logistischen Wachstums)' Versuchen Sie, die Kapazität der epidemiologischen Verbreitung der Krankheit COVID-19 zu ermitteln. Bedenken Sie, dass die Kapazität die Anzahl der Bevölkerung ist, die während der betrachteten Zeitspanne infiziert wird. Wenn die Kapazität geringer ist als die Gesamtbevölkerung (z.B. 60% der Gesamtbevölkerung), konvergiert die Anzahl der Menschen, die mit einem Virus infiziert wurden (und sich erholt haben), zu $M$ (d.h. $\lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=M$. Wenn die Kapazität $M$ größer ist als die Gesamtbevölkerung, dann zeigt die Gesamtzahl der infizierten Personen im Laufe der Zeit ein mehr oder weniger exponentielles Verhalten, bis die epidemiologische Ausbreitung der Krankheit die Gesamtbevölkerung erreicht.
• (Parameter: Logistisches Wachstum) Analysieren die durch Nutzung des Geogebra Applets Logistical Growth in Epidemiology, wie die Parameter $x_{o},M,k$ auf den Verlauf der Funktion bestimmen.
• (Verringerung epidemiologischer Konnektivität) direkter sozialen Kontakte) Wie wirkt sich die Verringerung der sozialen Kontakte auf die epidemiologische Ausbreitung aus? Erörtern Sie die Rolle der Risikokompetenz in der Bevölkerung, die einen signifikanten Einfluss auf die epidemiologische Verbreitung von COVID-19 hat.
• (Zoonose) Analysieren Sie den epidemiologischen Begriff einer Zoonose und erweitern Sie die grundlegenden Kompartimentmodelle auf eine Zoonose. Ist der Begriff der Zoonose auf COVID-19 anwendbar?
• (Explorative Lernumgebung mit Daten) Analysieren die Möglichkeiten, explorativ mit realen Daten in einer Lernumgebung zu experimentieren. Dazu betrachten Sie bitte die folgenden Möglichkeiten im Vergleich:
  • (R-Modellierung Shiny Dashboard) Wenn Sie die mathematische Modellierung in R implementiert haben oder der Umgang mit R-Bibliotheken vertraut ist, können Sie nicht nur die Analysen selbst in R durchführen, sondern auch die Skripte in eine Shiny-WebApp integrieren. Damit können andere Lernende mit den Daten und Scenarien experimentieren und die versuchen, die Entscheidungsprozessen in einem zeitlichen Verlauf abschätzen lernen.
  • (Jupyter Notebook) Erläutern Sie die Möglichkeiten, die Modellierungsexperimente mit Jupyter Notebooks durchzuführen. Welche Vorteile und welche Nachteile hat das für die Lernenden, um Einblicke in die Modellierung von epidemiologischen Krankheiten zu gewinnen?

Siehe auch

• COVID-19
• exponentielles Wachstum und logistisches Wachstum
• Kompartimentmodelle in der Epidemiologie
• KnitR Offizielle Website
• KnitR-Repository auf GitHub
• KnitR-Beispielcode auf GitHub
• knitr package auf CRAN
• R Statistik und R Studio als grafische Benutzeroberfläche für R.
• https://www.youtube.com/watch?v=DUAaNVlC6FE Video - Knitr lernen in 5min (Youtube)] von Ram Narasimhan - abgerufen am 11.10.2006
• https://www.youtube.com/watch?v=CNJ3ygl_xa0 Video - Professionelles Schreiben von Berichten mit Sweave, LaTeX und R (Youtube)] von Nicolas Yager - abgerufen am 11.10.2006
• knitr: Automatisches Einbetten von R-Ausgaben in Dokumente von Joshua Wiley 14.10.03

Externe Links für Simulationen

• COVID-Simuation von Martin Eichner, Markus Schwehm (2020): http://covidsim.eu/
• COVID-Simulation für die Ausbildung: https://github.com/ingodahn/Corona (2020) von Ingo Dahn