C X/Invariant unter n-ten Einheitswurzeln/Polynom in X^n/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst ${}F\in {\mathbb {C} }[X^{n}]$. Dann schreiben wir ${}F=\sum _{i=0}^{k}a_{i}(X^{n})^{i}$. Für ${}z\in \mu _{n}$ ist somit

${}F(zX)=\sum _{i=0}^{k}a_{i}((zX)^{n})^{i}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}(z^{n}X^{n})^{i}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}(X^{n})^{i}=F(X)\,.$

Für die Umkehrung sei

$F=\sum _{i=0}^{k}c_{i}X^{i}.$

Es sei ${}z$ eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel, so dass man alle Einheitswurzeln eindeutig als ${}z^{j}$, ${}j=0,\ldots ,n-1$, schreiben kann. Es ist

${}{\begin{aligned}nF(X)&=\sum _{j=0}^{n-1}F(z^{j}X)\\&=\sum _{j=0}^{n-1}(\sum _{i=0}^{k}c_{i}(z^{j})^{i}X^{i})\\&=\sum _{i=0}^{k}(c_{i}\sum _{j=0}^{n-1}(z^{i})^{j})X^{i}.\end{aligned}}$

Wir zeigen, dass die Koeffizienten zu ${}X^{i}$, wenn ${}i$ kein Vielfaches von ${}n$ ist, gleich ${}0$ sind. Dies gilt dann auch für ${}F$.

Es sei also ${}i$ kein Vielfaches von ${}n$. Da ${}z$ primitiv ist, ist ${}w=z^{i}$ eine ${}n$-te Einheitswurzel, aber nicht ${}1$. Wegen der Faktorisierung

$X^{n}-1=(X-1)(X^{n-1}+\cdots +X+1)$

ist daher ${}\sum _{j=0}^{n-1}w^{j}=0$.

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