C X/Invariant unter n-ten Einheitswurzeln/Polynom in X^n/Aufgabe/Lösung


Es sei zunächst . Dann schreiben wir . Für ist somit

Für die Umkehrung sei

Es sei eine primitive -te Einheitswurzel, sodass man alle Einheitswurzeln eindeutig als , , schreiben kann. Es ist

Wir zeigen, dass die Koeffizienten zu , wenn kein Vielfaches von ist, gleich sind. Dies gilt dann auch für .

Es sei also kein Vielfaches von . Da primitiv ist, ist eine -te Einheitswurzel, aber nicht . Wegen der Faktorisierung

ist daher .