Cardanosche Formel/x^3+2x-1/Beispiel

Wir betrachten die kubische Gleichung

${}x^{3}+2x-1=0\,$

und wenden darauf Fakt an. Es ist demnach ${}p=2,\,q=-1$ und ${}D=-59$ und somit ${}u={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(1+{\frac {1}{9}}{\sqrt {177}}\right)}}}$ und ${}v={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(1-{\frac {1}{9}}{\sqrt {177}}\right)}}}$. Dabei wählen wir jeweils die reellen dritten Wurzeln, was automatisch die reelle Bedingung ${}uv=-{\frac {2}{3}}$ sicherstellt. Somit ist ${}u+v$ eine reelle Lösung der Gleichung. Man sieht, dass diese Lösung aus Lösungen von rein-quadratischen und rein-kubischen Gleichungen mittels arithmetischer Ausdrücke zusammengesetzt ist, darüber hinaus aber keine einfache Gestalt besitzt. Den numerischen Wert dieser Lösung kann man beliebig genau durch beliebig genaue Berechnungen der Lösungen der reinen Gleichungen ausrechnen, doch könnte man genauso gut direkt (mit dem Halbierungsverfahren oder Ähnlichem) die Nullstelle numerisch berechnen.