Cardanosche Formel/x^3-3x+1/Beispiel

Wir betrachten die kubische Gleichung

${}x^{3}-3x+1=0\,$

und wenden darauf Fakt an. Es ist demnach ${}p=-3,\,q=2$ und ${}D=81$ und somit

${}u={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(-1+{\sqrt {-3}}\right)}}}={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\right)}}}=\zeta \,$

und

${}v={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(-1-{\sqrt {-3}}\right)}}}={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(-1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\right)}}}=\zeta ^{8}\,,$

wobei ${}\zeta$ hier die primitive komplexe neunte Einheitswurzel bezeichnet, die ja eine dritte Wurzel der dritten Einheitswurzel ${}\eta ={\frac {1}{2}}{\left(-1+{\sqrt {-3}}\right)}$ ist. Dabei gilt ${}uv=1$. Somit sind ${}u+v=\zeta +\zeta ^{8},\,\eta u+\eta ^{2}v=\zeta ^{4}+\zeta ^{6}\zeta ^{8}=\zeta ^{4}+\zeta ^{5}$ und ${}\eta ^{2}u+\eta v=\zeta ^{7}+\zeta ^{3}\zeta ^{8}=\zeta ^{7}+\zeta ^{2}$ die (allesamt reellen) Lösungen der Gleichung.