Cauchy-Folge/Teilfolge/Schnelle Konvergenz/Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper. Zeige, dass es eine Teilfolge ${}x_{n_{i}}$, ${}i\in \mathbb {N}$, derart gibt, dass folgende Eigenschaft erfüllt ist: Zu jedem ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ gilt für alle ${}i,j\geq k$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n_{i}}-x_{n_{j}}}\vert \leq {\frac {1}{k}}\,.$

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