Cauchy-Folgen/Q/Diagonalfolge/Quadratwurzel 5/Heron-Verfahren/Aufgabe

Es sei ${}u_{n}$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {5}}$ mit dem Startwert ${}u_{0}=1$, also ${}u_{1}=3$, ${}u_{2}={\frac {7}{3}}$, ${}u_{3}={\frac {47}{21}}$, ... Wir betrachten die reelle Folge

${}z_{n}:={\sqrt {u_{n}}}\,.$

Zu jedem ${}n$ sei ${}x_{ni},\,i\in \mathbb {N}$, die Heron-Folge zur Berechnung von ${}z_{n}={\sqrt {u_{n}}}$ mit dem Startwert ${}x_{n0}=1$. Bestimme die Diagonalfolgenglieder ${}y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}$ im Sinne von Fakt.

Zeige, dass ${}z_{n}$ eine Cauchy-Folge ist und bestimme den Grenzwert.

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