Cavalieri/Universelle Translationsinvarianz/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildung ${}\varphi _{v}$ ist messbar nach Fakt und nach Fakt. Sie ist ferner bijektiv, die Umkehrabbildung ist ${}\varphi _{-v}$. Sei ${}T\subseteq M\times N$ messbar. Wir müssen

${}(\mu \otimes \lambda ^{n})(T)=(\mu \otimes \lambda ^{n})(\varphi _{v}^{-1}(T))\,$

zeigen. Für ${}x\in M$ ist

${}(\varphi _{v}^{-1}(T))(x)={\left\{y\in \mathbb {R} ^{n}\mid (x,y)\in \varphi _{v}^{-1}(T)\right\}}={\left\{y\in \mathbb {R} ^{n}\mid (x,y+v(x))\in T\right\}}\,.$

Aufgrund der Translationsinvarianz des Borel-Lebesgue-Maßes besitzt diese Menge das gleiche Maß wie

${\left\{y+v(x)\in \mathbb {R} ^{n}\mid (x,y+v(x))\in T\right\}}={\left\{z\in \mathbb {R} ^{n}\mid (x,z)\in T\right\}}=T(x)\,.$

Aufgrund der Integrationsversion des Cavalieri-Prinzips gilt also

${}{\begin{aligned}(\mu \otimes \lambda ^{n})(T)&=\int _{M}\lambda ^{n}(T(x))\,d\mu (x)\\&=\int _{M}\lambda ^{n}{\left({\left(\varphi _{v}^{-1}(T)\right)}(x)\right)}\,d\mu (x)\\&={\left(\mu \otimes \lambda ^{n}\right)}{\left(\varphi _{v}^{-1}(T)\right)}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage