Die Abbildung
ist
messbar
nach
Fakt
und nach
Fakt.
Sie ist ferner bijektiv, die Umkehrabbildung ist
. Sei
messbar.
Wir müssen
-
![{\displaystyle {}(\mu \otimes \lambda ^{n})(T)=(\mu \otimes \lambda ^{n})(\varphi _{v}^{-1}(T))\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86b40a084e098f5f06dfa034192f5fed6b23bdc9)
zeigen. Für
ist
-
![{\displaystyle {}(\varphi _{v}^{-1}(T))(x)={\left\{y\in \mathbb {R} ^{n}\mid (x,y)\in \varphi _{v}^{-1}(T)\right\}}={\left\{y\in \mathbb {R} ^{n}\mid (x,y+v(x))\in T\right\}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea648c18653ed6603856a14ebefadd57ca1f7c1)
Aufgrund der
Translationsinvarianz
des
Borel-Lebesgue-Maßes
besitzt diese Menge das gleiche Maß wie
-
![{\displaystyle {\left\{y+v(x)\in \mathbb {R} ^{n}\mid (x,y+v(x))\in T\right\}}={\left\{z\in \mathbb {R} ^{n}\mid (x,z)\in T\right\}}=T(x)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d88380fb57f36e8e8ec3e12dc6a8178b71d08db3)
Aufgrund
der Integrationsversion des Cavalieri-Prinzips
gilt also
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}(\mu \otimes \lambda ^{n})(T)&=\int _{M}\lambda ^{n}(T(x))\,d\mu (x)\\&=\int _{M}\lambda ^{n}{\left({\left(\varphi _{v}^{-1}(T)\right)}(x)\right)}\,d\mu (x)\\&={\left(\mu \otimes \lambda ^{n}\right)}{\left(\varphi _{v}^{-1}(T)\right)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dc9a448d6b9b4f3f8df66618a1b6cf25e8fe036)