Cayley Hamilton/2x2 Matrix/Aufgabe/Lösung

a) Der Satz von Cayley-Hamilton besagt Folgendes. Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$-Matrix mit dem charakteristischen Polynom ${}\chi _{M}$. Wenn man dann ${}M$ in ${}\chi _{M}$ einsetzt, so ergibt sich

$\chi _{M}\,(M)=0.$

b) Das charakteristische Polynom der Matrix ${}M={\begin{pmatrix}2&1\\3&-4\end{pmatrix}}$ ist

${}\chi _{M}=\det {\begin{pmatrix}x-2&-1\\-3&x+4\end{pmatrix}}=(x-2)(x+4)-3=x^{2}+2x-11\,.$

Um darin ${}M$ einzusetzen berechnen wir zuerst

${}{\begin{pmatrix}2&1\\3&-4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&1\\3&-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&-2\\-6&19\end{pmatrix}}\,.$

Daher ist

${}\chi _{M}={\begin{pmatrix}7&-2\\-6&19\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}2&1\\3&-4\end{pmatrix}}-11{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7+4-11&-2+2\\-6+6&19-8-11\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,.$

c) Wir setzen die ${}2\times 2$-Matrix als

$M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

an. Das charakteristische Polynom davon ist

${}\chi _{M}=\det {\begin{pmatrix}x-a&-b\\-c&x-d\end{pmatrix}}=(x-a)(x-d)-bc=x^{2}-(a+d)x+ad-bc\,.$

Das Quadrat von ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ist

${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{2}+bc&ab+bd\\ca+cd&cb+d^{2}\end{pmatrix}}\,.$

Durch Einsetzen ergibt sich

${}{\begin{aligned}&\,{\begin{pmatrix}a^{2}+bc&ab+bd\\ca+cd&cb+d^{2}\end{pmatrix}}-(a+d){\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}+(ad-bc){\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a^{2}+bc&ab+bd\\ca+cd&cb+d^{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-(a+d)a&-(a+d)b\\-(a+d)c&-(a+d)d\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a^{2}+bc-(a+d)a+ad-bc&ab+bd-(a+d)b\\ca+cd-(a+d)c&cb+d^{2}-(a+d)d+ad-bc\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe