Cech-Kohomologie/Abgeleitete Kohomologie/Endliche azyklische Überdeckung/Verbindender Homomorphismus/Übereinstimmung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über ${}k$ (für alle ${}n$ gleichzeitig), der Fall ${}k=1$ wurde in Fakt behandelt, die Argumentation orientiert sich an diesem Satz. Wir betrachten die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {Z}}_{0}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}_{1}={\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

und die Isomorphismen

${}H^{k}(X,{\mathcal {F}})=H^{k-1}(X,{\mathcal {H}})={\check {H}}^{k-1}(U_{i},{\mathcal {H}})\,,$

wobei der linke Isomorphismus durch den verbindenden Homomorphismus und die Azyklizität von ${}{\mathcal {Z}}_{0}$ und der rechte Isomorphismus auf der Induktionsvoraussetzung, angewendet auf ${}{\mathcal {H}}$, beruht. Wir müssen also noch zeigen, dass es einen Isomorphismus

${}{\check {H}}^{k-1}(U_{i},{\mathcal {H}})={\check {H}}^{k}(U_{i},{\mathcal {F}})\,$

gibt. Eine Klasse links wird durch ein Tupel

${}{\left(t_{J}\right)}\in \prod _{{\#\left(J\right)}=k}\Gamma {\left(U_{J},{\mathcal {H}}\right)}\,$

mit der Bedingung

${}\sum _{\ell =0}^{k+1}(-1)^{i}t_{L\setminus \{i_{\ell }\}}=0\,$

für alle ${}k+1$-elementigen Teilmengen ${}L\subseteq I$ repräsentiert. Wegen der Azyklizität der Überdeckung für ${}{\mathcal {F}}$ gibt es ein Tupel

${}{\left(s_{J}\right)}\in \prod _{{\#\left(J\right)}=n}\Gamma {\left(U_{J},{\mathcal {Z}}\right)}\,,$

das auf ${}{\left(t_{J}\right)}$ abbildet. Dieses definiert wiederum ein Differenzentupel ${}{\left(r_{L}\right)}$, wobei ${}L$ die ${}k+1$-elementigen Teilmengen von ${}I$ durchläuft, durch

${}r_{L}:=\sum _{\ell =0}^{k+1}(-1)^{\ell }s_{L\setminus \{i_{\ell }\}}\,.$

Da ${}s_{J}$ auf ${}t_{J}$ abgebildet wird, werden die ${}r_{L}$ wegen der obigen Bedingung auf ${}0$ abgebildet und daher ist

${}(r_{L})_{L}\in \prod _{{\#\left(L\right)}=k+1}\Gamma {\left(U_{L},{\mathcal {F}}\right)}\,.$

Weitere Überlegungen zeigen, dass es sich um Kozykel handelt, dass die Abbildung wohldefiniert und ein bijektiver Gruppenhomomorphismus ist.

Zur bewiesenen Aussage