Charaktergruppe/Z mod n/C/Beispiel

Zur Gruppe ${}G=\mathbb {Z} /(n)$ und zum Körper ${}{\mathbb {C} }$ besteht die Charaktergruppe aus allen Gruppenhomomorphismen ${}\varphi \colon \mathbb {Z} /(n)\rightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$. Da ein solcher durch das Bild des Erzeugers ${}1$ festgelegt ist, und dieser auf eine ${}n$-te Einheitswurzel geht, besteht eine natürliche Isomorphie zwischen der Charaktergruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\vee }$ und der Gruppe ${}\mu _{n}$ der ${}n$-ten komplexen Einheitswurzeln. Diese Gruppe ist selbst isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(n)$, aber nicht in kanonischer Weise.