Charakteristisches Polynom/R/Von Potenz/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}M$ eine beschreibende Matrix. Diese können wir auch über den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ auffassen, dadurch ändert sich weder das charakteristische Polynom noch die Matrizenmultiplikation. Wir können also über ${}{\mathbb {C} }$ arbeiten. Über ${}{\mathbb {C} }$ ist die Matrix trigonalisierbar, d.h. es gibt eine Basis, bezüglich der die beschreibende Matrix obere Dreiecksgestalt hat, sagen wir

${\begin{pmatrix}\lambda _{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&\lambda _{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda _{d-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&\lambda _{d}\end{pmatrix}}.$

Das charakteristische Polynom hat somit die Form

${\left(X-\lambda _{1}\right)}\cdots {\left(X-\lambda _{d}\right)}.$

Die ${}n$-te Potenz dieser Matrix hat die Form

${\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{n}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&\lambda _{2}^{n}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda _{d-1}^{n}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&\lambda _{d}^{n}\end{pmatrix}}.$

Daher ist deren charakteristisches Polynom gleich

${\left(X-\lambda _{1}^{n}\right)}\cdots {\left(X-\lambda _{d}^{n}\right)}.$

Das charakteristische Polynom der Potenzen hängt also nur vom charakteristischen Polynom der Ausgangsmatrix ab.

Zur gelösten Aufgabe