Dachprodukt/Algebrastruktur/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Da die Dachprodukte ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$ bzw. ${}w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{m}$ jeweils Erzeugendensysteme sind, kann es maximal eine multilineare Abbildung geben, die für die Dachprodukte einfach die Verkettung ist. Für beliebige Linearkombinationen ${}\alpha =\sum _{i\in I}a_{i}v_{i1}\wedge \ldots \wedge v_{in}$ und ${}\beta =\sum _{j\in J}b_{j}w_{j1}\wedge \ldots \wedge w_{jm}$ muss dann (wegen der geforderten Multilinearität)

${}{\begin{aligned}\alpha \wedge \beta &={\left(\sum _{i\in I}a_{i}v_{i1}\wedge \ldots \wedge v_{in}\right)}\wedge {\left(\sum _{j\in J}b_{j}w_{j1}\wedge \ldots \wedge w_{jm}\right)}\\&=\sum _{(i,j)\in I\times J}a_{i}b_{j}v_{i1}\wedge \ldots \wedge v_{in}\wedge w_{j1}\wedge \ldots \wedge w_{jm}\end{aligned}}$

gelten. Wir müssen zeigen, dass dadurch eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist, d.h. dass die Summe rechts nicht von den für ${}\alpha$ bzw. ${}\beta$ gewählten Darstellungen abhängt. Es sei also ${}\alpha =\sum _{i\in I}c_{i}v_{i1}\wedge \ldots \wedge v_{in}$ eine zweite Darstellung, wobei wir die Indexmenge als gleich annehmen dürfen, da wir fehlende Summanden mit dem Koeffizienten ${}0$ versehen können. Die Differenz ${}\sum _{i\in I}(a_{i}-c_{i})v_{i1}\wedge \ldots \wedge v_{in}$ ist dann eine (im Allgemeinen nicht triviale) Darstellung der ${}0$. D.h. ${}\sum _{i\in I}(a_{i}-c_{i})e_{v_{i1},\ldots ,v_{in}}$ ist eine Linearkombination aus den in Fakt beschriebenen Standardrelationen für das Dachprodukt. Wenn man eine solche Standardrelation der Länge ${}n$ in jedem Summanden um das Indextupel ${}w_{1},\ldots ,w_{m}$ erweitert, so erhält man eine Standardrelation der Länge ${}n+m$. Dies bedeutet, dass aus einer Darstellung der ${}0$ bei der Verknüpfung mit einem beliebigen ${}\beta$ eine Darstellung der ${}0$ entsteht. Daher ist das Dachprodukt ${}\alpha \wedge \beta$ unabhängig von der gewählten Darstellung für ${}\alpha$. Da man die Rollen von ${}\alpha$ und ${}\beta$ vertauschen kann, ist die Darstellung auch unabhängig von der gewählten Darstellung für ${}\beta$. Die Multilinearität folgt unmittelbar aus der expliziten Beschreibung.

Zur bewiesenen Aussage