Dachprodukt/Mannigfaltigkeiten/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

1. Die Dachprodukte

   $v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{k}}$

   zu ${}1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n$ bilden eine Basis von ${}\bigwedge ^{k}V$.

2. Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}k\in \mathbb {N}$. Es sei

   $\psi \colon V^{k}\longrightarrow W$

   eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren ${}K$-Vektorraum ${}W$.

   Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

   ${\tilde {\psi }}\colon \bigwedge ^{k}V\longrightarrow W$

   derart, dass das Diagramm

   ${\begin{matrix}V^{k}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\bigwedge ^{k}V&\\&\searrow &\downarrow &\\&&W&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   kommutiert.

3. Die zurückgezogene Volumenform besitzt die Darstellung

   ${}\varphi ^{*}\omega =(f\circ \varphi )\cdot \det(({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}})_{1\leq i,j\leq n})dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$

4. Es sei ${}T\subseteq U$ messbar und ${}\alpha \colon U\rightarrow V$ eine Karte mit der metrischen Fundamentalmatrix ${}(g_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ und ihrer Determinante ${}g$. Dann ist

   ${}\int _{T}\omega =\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}\,d\lambda ^{n}\,.$

Zur gelösten Aufgabe