Dachprodukt/Nach Tensorprodukt/Permutationen/Abbildung/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und sei

$\pi \colon V\times \cdots \times V\longrightarrow V\otimes _{}\cdots \otimes _{}V$

(mit ${}n$ Faktoren) die kanonische multilineare Abbildung.

1. Es sei ${}\sigma \in S_{n}$ eine Permutation. Zeige, dass es eine multilineare Abbildung

   $\pi \circ \sigma \colon V\times \cdots \times V\longrightarrow V\otimes _{}\cdots \otimes _{}V$

   mit

   ${}(\pi \circ \sigma )(v_{1},\ldots ,v_{n})=v_{\sigma (1)}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{\sigma (n)}\,$

   gibt.

2. Zeige, dass ${}\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\pi \circ \sigma$ multilinear und alternierend ist.
3. Zeige, dass es eine lineare Abbildung

   $\Psi \colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow V\otimes _{}\cdots \otimes _{}V$

   mit

   ${}\Psi (v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n})=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )v_{\sigma (1)}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{\sigma (n)}\,$

   gibt.

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