Zeige folgende Aussage über das Dachprodukt: Es sei K {\displaystyle {}K} ein Körper und V {\displaystyle {}V} ein K {\displaystyle {}K} -Vektorraum der Dimension n {\displaystyle {}n} . Es seien v 1 , … , v r {\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{r}} und w 1 , … , w r {\displaystyle {}w_{1},\ldots ,w_{r}} Vektoren in V {\displaystyle {}V} , die miteinander in der Beziehung
stehen, wobei M {\displaystyle {}M} eine r × r {\displaystyle {}r\times r} -Matrix bezeichnet. Dann gilt in ⋀ r V {\displaystyle {}\bigwedge ^{r}V} die Beziehung
ein
Körper
und 
ein
-Vektorraum der
Dimension
. Es seien
und 
Vektoren in , die miteinander in der Beziehung
eine
-Matrix
bezeichnet. Dann gilt in 
die Beziehung
