Das Rechnen mit reellen und komplexen Zahlen (§1)

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Kommentar:

Ist verwaist. kein Kurs, kein Projekt, keine Relevanz --Heuerli 12:54, 10. Okt. 2007 (CEST)

Das Rechnen mit reellen und komplexen Zahlen (§1)

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Definition 1

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Ein System   von Elementen heißt ein Körper genau dann, wenn es zu je zwei Elementen   eine Summe   und ein Produkt   derart gibt, dass die Körperaxiome   gelten.
1. Axiome der Addition  
a) Assoziativgesetz: Für alle   gilt:  .
b) Kommutativgesetz: Für alle   gilt:  .
c) Existenz des additiv neutralen (Null-)Elements: Es existiert ein neutrales Element   derart, dass für alle   die Bedingung   gilt.
d) Existenz des additiv inversen (negativen) Elements: Zu jedem   gibt es ein inverses element   mit  . Man schreibt  .
2. Axiome der Multiplikation  
a) Assoziativgesetz: Für alle   gilt:  .
b) Kommutativgesetz: Für alle   gilt:  .
c) Existenz des multiplikativ neutralen (Eins-)elements: Es existiert ein neutrales Element   derart, dass für alle   die Bedingung   gilt.
d) Existenz des multiplikativ inversen (reziproken) Elements: Zu jedem   gibt es ein inverses element   mit  . Man schreibt  .
3. Distributivgesetz  
Für alle   gilt:  .
Aus den Körperaxiomen lassen sich weitere Eigenschaften der Elemente von   folgern.
(1) Für beliebige   ist die Gleichung   eindeutig lösbar.
(2) Für beliebige   und   ist die Gleichung   eindeutig lösbar.
(3) Für alle   gelten   und  .
(4) Für alle   gilt  
(5) Für alle   gilt  .

Beweis von (1)

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Nach   existiert zu   das inverse Element  . Wir addieren zur Gleichung   von links   und erhalten   bzw. nach    , was die Eindeutigkeit der Lösung zeigt. Angenommen   sei die eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung  . Dann gilt nach  

 .

Damit hat man die Existenz einer Lösung nachgewiesen.

q.e.d.

Beweis von (2)

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Satz 4 (Ungleichung von Cauchy-Schwarz)

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Wenn   für   gilt, dann folgt
 .

Wir betrachten die Funktion

 

Nach Definition ist klar, dass   für alle  . Die Umformung

 

zeigt, dass   ein (höchstens) quadratisches Polynom ist. Es ist genau dann nichtnegativ, wenn seine Diskriminante

 

nichtpositiv ist, wenn also   gilt. Das ist jedoch genau die behauptete Ungleichung.

q.e.d.

Beispiel 5

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Für   definieren wir die Größe   Fakultät wie folgt:

 
 
 
 
 .

Weiter erklären wir für   den Binomialkoeffizienten

(23)  .

Wegen

 
 
 

gilt für alle   das Additionstheorem für die Binomialkoeffizienten:

(24)  .

Satz 5 (Binomischer Lehrsatz)

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Für alle   und   gilt die Identität
(25)  .

Sei  , so ist obige Gleichung wegen

 

offenbar erfüllt. Sei also  . Wir multiplizieren (25) mit   und erhalten

 
 .

Mit Hilfe der Substitution   genügt es, die Aussage

(26)  

zu zeigen. Wir beweisen nun durch vollständige Induktion, dass (26) für alle   gilt. Die Aussage   ist die Gleichung (26).

(IA) Für   und   ergibt sich die wahre Aussage

 .

(IS) Nach Induktionsvoraussetzung gilt (26) für ein beliebiges  . Dann folgt

 
 
 
 
 .

Damit ist Satz 5 nach dem Prinzip der vollständigen Induktion bewiesen.

q.e.d.

Beispiel 6 (Teleskopsummen)

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Seien   mit   gegeben sowie die Zahlenfolge   zu den Indices  . Wir betrachten jetzt die Zahlenfolge   mit   für   und berechnen

(27)  
 

Für   und   ergibt sich dann

  und  .

Andererseits ist nach (27)

 ,

woraus sich unmittelbar die Gauß-Formel

 

ergibt.