Dating/Personen und Eigenschaften/Allrelation/Aufgabe/Lösung

1. Das ist die Menge aller Personen, die diese Eigenschaft erfüllen.
2. Das ist die Menge aller Eigenschaften, die diese Person besitzt.
3. Es gibt vermutlich in ${}E$ Eigenschaften, die sich ausschließen, wie klein und groß (oder Katzenfreund/Kein Katzenfreund).
4. Es sei ${}m\in {\left(W_{2}\right)}^{\perp }$. Dies bedeutet, dass ${}m$ eine Person ist, die alle Eigenschaften aus ${}W_{2}$ erfüllt. Dann erfüllt ${}m$ erst recht alle Eigenscahften aus der Teilmenge ${}W_{1}$, also gilt ${}m\in {\left(W_{1}\right)}^{\perp }$.
5. Es sei ${}e\in W$. Die Menge ${}W^{\perp }$ besteht aus allen Personen, die alle Eigenschaften aus ${}W$ besitzen. Diese Personenmenge besitzt insbesondere die Eigenschaft ${}e$, daher ist ${}e\in {\left(W^{\perp }\right)}^{\perp }$.
6. Wegen ${}W_{1}\subseteq W_{1}\cup W_{2}$ gilt nach Teil (4)

   ${}{\left(W_{1}\cup W_{2}\right)}^{\perp }=W_{1}^{\perp }\,$

   und entsprechend für ${}W_{2}$. Dies ergibt die Inklusion ${}{\left(W_{1}\cup W_{2}\right)}^{\perp }\subseteq W_{1}^{\perp }\cap W_{1}^{\perp }$. Es sei nun ${}m=W_{1}^{\perp }\cap W_{1}^{\perp }$. Dies bedeutet, dass ${}m$ alle Eigenschaften aus ${}W_{1}$ und alle Eigenschaften aus ${}W_{2}$ besitzt. Also besitzt ${}m$ alle Eigenschaften aus ${}W_{1}\cup W_{2}$, also ${}m\in {\left(W_{1}\cup W_{2}\right)}^{\perp }$.

7. Dies muss nicht gelten. Es kann beispielsweise ${}E$ disjunkt zerlegt in ${}W_{1}$ und ${}W_{2}$ sein. Dann ist ${}W_{1}\cap W_{2}=\emptyset$ und ${}\emptyset ^{\perp }=M$. Es kann aber gleichzeitig sein, dass es sowohl in ${}W_{1}$ als auch in ${}W_{2}$ widersprüchliche Eigenschaften, sodass

   ${}{\left(W_{1}\right)}^{\perp }=\emptyset ={\left(W_{2}\right)}^{\perp }\,$

   gilt.

8. Das gilt. Nach (4) ist ${}W\subseteq {\left(W^{\perp }\right)}^{\perp }$, woraus mit (5) die Inklusion

   ${}{\left({\left(W^{\perp }\right)}^{\perp }\right)}^{\perp }\subseteq W^{\perp }\,.$

   Die zu (4) analoge Eingenschaft gilt auch für Teilmengen ${}T\subseteq M$. Angewendet auf ${}T=W^{\perp }$, ergibt sich

   ${}W^{\perp }\subseteq {\left({\left(W^{\perp }\right)}^{\perp }\right)}^{\perp }\,.$

Zur gelösten Aufgabe