Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Nenneraufnahme/Fakt/Beweis

Beweis

Die Injektivität links ist klar. Die Einheiten aus ${}R$ haben überhaupt an jedem Primideal die Ordnung ${}0$, deshalb ist an der nächsten Stelle die Zusammensetzung die triviale Abbildung. Sei ${}f\in R_{S}^{\times }$ derart, dass es unter der folgenden Abbildung auf ${}0$ geht. Das bedeutet, das es an allen Primidealen, die nicht zu ${}R_{S}$ gehören, die Ordnung ${}0$ besitzt. Da es eine Einheit in ${}R_{S}$ ist, hat es auch an allen Primidealen, die zu ${}R_{S}$ gehören, und damit überhaupt an jedem Primideal von ${}R$ die Ordnung ${}0$ und ist somit eine Einheit in ${}R$.

Die dritte Abbildung ist einfach die Hauptdivisorabbildung, da in den Primidealen, die zu ${}S$ disjunkt sind, die Ordnung einer Einheit aus ${}R_{S}$ stets ${}0$ ist und sich der relevante Teil des Hauptdivisors in den angegebenen Primidealen abspielt. Die zusammengesetzte Abbildung ist daher die Nullabbildung, da in der Klassengruppe die Hauptdivisoren zu ${}0$ gemacht werden. Wenn ein Divisor ${}\sum _{{\mathfrak {p}}\cap S\neq \emptyset }n_{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}$ in der Klassengruppe von ${}R$ zu ${}0$ wird, so bedeutet dies die Existenz eines ${}f\in Q(R)\setminus \{0\}$ mit

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{{\mathfrak {p}}\cap S\neq \emptyset }n_{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}\,.$

Dabei sind dann insbesondere die Ordnungen von ${}f$ an den Primidealen, die mit ${}S$ einen leeren Durchschnitt haben, gleich ${}0$, und dann gehört ${}f$ zu ${}R_{S}$ und ist dort eine Einheit.

Ein Divisor mit der angegebenen Trägermenge wird in der Klassengruppe von ${}R_{S}$ zu ${}0$, da diese Primideale in der Nenneraufnahme nicht überleben. Es sei ${}[D]\in \operatorname {DKG} {\left(R\right)}$ eine Divisorklasse, repräsentiert durch ${}D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}$, die in der Divisorenklassengruppe von ${}R_{S}$ zu ${}0$ wird. Wir schreiben ${}D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}=\sum _{{\mathfrak {p}}\cap S\neq \emptyset }n_{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}+\sum _{{\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset }n_{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}=D_{1}+D_{2}$. Unter der Abbildung wird dies nach ${}[D_{2}]$ abgebildet. Aus

${}D_{2}=\operatorname {div} {\left(f\right)}\,$

in der Divisorengruppe zu ${}R_{S}$ folgt, dass die Differenz zwischen ${}D$ und ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ in der Divisorengruppe zu ${}R$ mit Primidealen geschrieben werden kann, die zu ${}S$ einen nichtleeren Durchschnitt haben. Diese Differenz kommt also von rechts. Die Surjektivität an der letzten Stelle ist klar.

Zur bewiesenen Aussage