Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Nenneraufnahme/Fakt/Beweis

Beweis

Die Injektivität links ist klar. Die Einheiten aus haben überhaupt an jedem Primideal die Ordnung , deshalb ist an der nächsten Stelle die Zusammensetzung die triviale Abbildung. Sei derart, dass es unter der folgenden Abbildung auf geht. Das bedeutet, das es an allen Primidealen, die nicht zu gehören, die Ordnung besitzt. Da es eine Einheit in ist, hat es auch an allen Primidealen, die zu gehören, und damit überhaupt an jedem Primideal von die Ordnung und ist somit eine Einheit in .

Die dritte Abbildung ist einfach die Hauptdivisorabbildung, da in den Primidealen, die zu disjunkt sind, die Ordnung einer Einheit aus stets ist und sich der relevante Teil des Hauptdivisors in den angegebenen Primidealen abspielt. Die zusammengesetzte Abbildung ist daher die Nullabbildung, da in der Klassengruppe die Hauptdivisoren zu gemacht werden. Wenn ein Divisor in der Klassengruppe von zu wird, so bedeutet dies die Existenz eines mit

Dabei sind dann insbesondere die Ordnungen von an den Primidealen, die mit einen leeren Durchschnitt haben, gleich , und dann gehört zu und ist dort eine Einheit.

Ein Divisor mit der angegebenen Trägermenge wird in der Klassengruppe von zu , da diese Primideale in der Nenneraufnahme nicht überleben. Es sei eine Divisorklasse, repräsentiert durch , die in der Divisorenklassengruppe von zu wird. Wir schreiben . Unter der Abbildung wird dies nach abgebildet. Aus

in der Divisorengruppe zu folgt, dass die Differenz zwischen und in der Divisorengruppe zu mit Primidealen geschrieben werden kann, die zu einen nichtleeren Durchschnitt haben. Diese Differenz kommt also von rechts. Die Surjektivität an der letzten Stelle ist klar.