Dedekindbereich/Einheitsgleichung/Inverses Ideal/Aufgabe/Lösung

Wegen

${}{\mathfrak {g}}\cdot {\mathfrak {f}}\subseteq R\,$

ist unmittelbar

${}{\mathfrak {f}}\subseteq {\mathfrak {g}}^{-1}\,.$

Zum Beweis der anderen Inklusion sei ${}h\in {\mathfrak {g}}^{-1}$, also ${}h\in Q(R)$ mit

${}h{\mathfrak {g}}\subseteq R\,.$

Die Bedingung

${}{\mathfrak {g}}{\mathfrak {f}}=R\,$

beinhaltet insbesondere, dass es Elemente ${}g_{1},\ldots ,g_{n}\in {\mathfrak {g}}$ und ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathfrak {f}}$ mit

${}\sum _{i=1}^{n}g_{i}f_{i}=1\,$

gibt. Somit ist

${}h=h\cdot 1=h\cdot {\left(\sum _{i=1}^{n}g_{i}f_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}(hg_{i})f_{i}\,.$

Wegen ${}hg_{i}\in R$

bedeutet dies, dass ${}h$ zu dem von ${}f_{i}$ erzeugten gebrochenen Ideal, also zu ${}{\mathfrak {f}}$, gehört.

Zur gelösten Aufgabe