Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Separabel/Kähler-Modul/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Nach Fakt ist

   ${}{\left(\Omega _{S{|}R}\right)}_{S\setminus \{0\}}=\Omega _{Q(S){|}R}=\Omega _{Q(S){|}Q(R)}\,.$

   Somit folgt die Aussage aus dem Satz vom primitiven Element in Verbindung mit Fakt.

2. Folgt aus (1) aufgrund der endlichen Erzeugtheit von ${}\Omega _{S{|}R}$.
3. Folgt aus (2), man kann für ${}r$ die Norm von ${}s$ nehmen, die ja nach Fakt (im zahlentheoretischen Kontext) ein Vielfaches von ${}s$ ist.
4. Folgt aus (2) und daraus, dass es in einem Dedekindbereich nur endlich viele Primideale oberhalb eines Elementes ${}\neq 0$ gibt.
5. Folgt aus (3) und der endlichen Erzeugtheit.

Zur bewiesenen Aussage