Dedekindbereich/Erweiterung/Separabel/Verzweigung/Endlich/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

mit einem normierten Polynom , was es nach dem Satz vom primitiven Element gibt. Wir betrachten die endlichen Abbildungen

wobei die Normalisierung von ist. Es sei

mit und wobei wir annehmen dürfen. Sei

Dann ist

Das heißt, dass oberhalb von der Ganzheitsring durch ein Element erzeugt wird. Da es oberhalb von nur endlich viele Primideale in gibt, genügt es zu zeigen, dass in nur endlich viele Primideale verzweigen. Wir können also

als monogen annehmen. Wir betrachten das von und erzeugte Ideal in . Wegen der Separabilität der generischen Körpererweiterung erzeugen diese Polynome in das Einheitsideal, was in bedeutet, dass es Polynome gibt mit

mit . Dies heißt wiederum, dass in die beiden Polynome das Einheitsideal erzeugen. Somit findet nach Fakt auf keine Verzweigung statt. Oberhalb von gibt es aber auch wieder nur endlich viele Primideale und die Primideale aus verzweigen nicht.