Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Restekörper/Kommutatives Diagramm/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$ . Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$ und seien ${}{\mathfrak {q}}$ und ${}{\mathfrak {q}}'$ Primideale von ${}S$ über ${}{\mathfrak {p}}$ . Zeige, dass es ein natürliches kommutatives Diagramm

{\begin{matrix}G_{\mathfrak {q}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}){|}\kappa ({\mathfrak {p}}))&\\\downarrow &&\downarrow &\\G_{{\mathfrak {q}}'}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}'){|}\kappa ({\mathfrak {p}}))&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}

von Gruppenhomomorphismen gibt, wobei die vertikalen Abbildungen Isomorphismen sind.