Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Fundamentale Gleichung/Fakt/Beweis

Beweis

Nach dem chinesischen Restsatz für Dedekindbereiche ist

${}S/{\mathfrak {p}}S=S/{\mathfrak {q}}_{1}^{e_{1}}\times \cdots \times S/{\mathfrak {q}}_{k}^{e_{k}}\,.$

Wir können über dem diskreten Bewertungsring ${}R_{\mathfrak {p}}$ argumentieren, also davon ausgehen, dass ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {p}}$ ist. Die angeführten Restklassenringe ändern sich dadurch nicht. Es ist ${}S$ ein freier ${}R$-Modul vom Rang ${}n$ und somit ist

${}S/{\mathfrak {p}}S=S\otimes _{R}R/{\mathfrak {p}}\,$

ein ${}R/{\mathfrak {p}}$-Vektorraum der Dimension ${}n$. Oben rechts steht das Produkt der ${}R/{\mathfrak {p}}$-Vektorräume ${}S/{\mathfrak {q}}_{j}^{e_{j}}$ und es ist zu zeigen, dass deren ${}R/{\mathfrak {p}}$-Dimension gleich ${}e_{j}f_{j}$ ist. Dies zeigen wir durch Induktion über ${}e=e_{j}$, wobei der Induktionsanfang für ${}e=1$ die Definition des Trägheitsgrades ${}f_{j}$ ist. Wegen ${}{\mathfrak {q}}^{e+1}\subseteq {\mathfrak {q}}^{e}$ liegt eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathfrak {q}}^{e}/{\mathfrak {q}}^{e+1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {q}}^{e+1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {q}}^{e}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vor. Dabei ist

${}{\mathfrak {q}}^{e}/{\mathfrak {q}}^{e+1}={\mathfrak {q}}^{e}S_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}^{e+1}S_{\mathfrak {q}}=S_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}S_{\mathfrak {q}}=S/{\mathfrak {q}}\,.$

Deshalb folgt die Aussage aufgrund der Vektorraumadditivität in kurzen exakten Sequenzen.

Zur bewiesenen Aussage