Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt/Beweis

Beweis

Wir starten mit einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ und vergleichen ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}\operatorname {Id} (\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)})$. Es sei zunächst ${}f\in {\mathfrak {a}}$. Es ist dann ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq \operatorname {min} {\left\{\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)\mid g\in {\mathfrak {a}}\right\}}$ für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$, sodass natürlich ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq \operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}$ gilt. Also ist ${}f\in \operatorname {Id} (\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)})$. Ist hingegen ${}f\notin {\mathfrak {a}}$, so gibt es nach Aufgabe auch ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ mit ${}f\notin {\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {p}}$. Da ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein diskreter Bewertungsring ist, gilt ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)<\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,({\mathfrak {a}})$. Also ist ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}\not \geq \operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}$ und somit ${}f\notin \operatorname {Id} (\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)})$. Insbesondere ist die Abbildung injektiv. Die Surjektivität ergibt sich aus Fakt  (1) in Verbindung mit Fakt  (2), was auch den Zusatz ergibt.

Zur bewiesenen Aussage