Es seien
und
.
Wir definieren rekursiv eine
Intervallschachtelung
mit
und
.
Wir setzen
und
.
Wenn
und
schon definiert sind, so setzen wir
-
![{\displaystyle {}a_{n+1}={\begin{cases}{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},{\text{ falls }}{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\in A\,,\\a_{n}{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df2c07f1804957f1a7ad62a5b1043cb2747d7b7f)
und
-
![{\displaystyle {}b_{n+1}={\begin{cases}b_{n},{\text{ falls }}{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\in A\,,\\{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/694841e827abd5aef05f8ed33f61416b00c776b8)
Damit ist stets
,
und insbesondere
,
die Folgen sind wachsend bzw. fallend und die Intervalllänge wird in jedem Schritt halbiert. Somit liegt eine Intervallschachtelung vor. Nach
Fakt
gibt es genau eine reelle Zahl
, die in allen Intervallen
liegt. Wir behaupten, dass dieses
der trennende Punkt ist, d.h. wir müssen
-
![{\displaystyle {}A={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q<x\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a038e786de0164cfe40cddd9a564b4458b97b412)
zeigen. Es sei zunächst
.
Dann ist
für jedes
und somit ist
.
Da
mit
auch noch größere Elemente enthält, sagen wir
,
gilt sogar
.
Wenn dagegen
,
also
ist, so zeigt die gleiche Argumentation mit vertauschten Rollen die Beziehung
.