Der Bloch-Vektor

Der Bloch-Vektor

liefert eine geometrische Darstellung der Zustände eines zwei-Niveau-Systems (Atom, Molekül, Spin, qBit). Gemeinschaftsarbeit von Studierenden der Universität Potsdam.

Geometrie der Bloch-Kugel mit einem beliebigen Quantenzustand $|\psi \rangle$ als Superposition der Basiszustände $\left|\uparrow \right\rangle$ und $\left|\downarrow \right\rangle$

Mit den Bloch-Vektoren lassen sich zwei-Niveau-Systeme mit den hier bezeichneten Basiszuständen $\left|\uparrow \right\rangle$ und $\left|\downarrow \right\rangle$ beschreiben. Lustigerweise ist die Darstellung auf der Bloch-Kugel so, dass obwohl die Basiszustände $\left|\uparrow \right\rangle$ und $\left|\downarrow \right\rangle$ senkrecht zueinander stehen, die entsprechenden Bloch-Vektoren in die jeweilig entgegengesetzte Richtungen zeigen. Man nennt diese Darstellung daher auch nicht winkeltreu, weil der „rechte Winkel” im klassischen Sinne zwischen den beiden Vektoren hier nicht wiederzuerkennen ist. Dafür kann man allerdings in der dreidimensionalen Darstellung der Bloch-Kugel auch jede komplexe Linearkombination der beiden Basisvektoren darstellen. Man kann zum Beispiel definieren:

${\begin{aligned}\left|\rightarrow \right\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|\uparrow \right\rangle +\left|\downarrow \right\rangle \right)\\\left|\leftarrow \right\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|\uparrow \right\rangle -\left|\downarrow \right\rangle \right)\end{aligned}}$

dabei kann $\left|\leftarrow \right\rangle$ gelesen werden als der „nach links” zeigende Vektor und $\left|\rightarrow \right\rangle$ der „nach rechts” zeigende Vektor. Analog vereinbart man für $\left|\odot \right\rangle$ („nach vorn”) und $\left|\times \right\rangle$ („nach hinten”):

${\begin{aligned}\left|\odot \right\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|\uparrow \right\rangle +\mathrm {i} \left|\downarrow \right\rangle \right)\\\left|\times \right\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|\uparrow \right\rangle -\mathrm {i} \left|\downarrow \right\rangle \right)\end{aligned}}$

Es wird im allgemeinen Fall also die komplexe Linearkombination von

$\left|\psi \right\rangle =\alpha \left|\uparrow \right\rangle +\beta \left|\downarrow \right\rangle$

deutlich. Durch die Kugelsymmetrie bieten sich hier Kugelkoordinaten bestens an, weshalb wir den allgemeinen Bloch-Vektor $\left|\psi \right\rangle$ auch mit Hilfe der beiden Winkel $\theta$ und $\varphi$ ausdrücken können

$\left|\theta ,\varphi \right\rangle =\cos {\frac {\theta }{2}}\mathrm {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \varphi }{2}}}\left|\uparrow \right\rangle +\sin {\frac {\theta }{2}}\mathrm {e} ^{+{\frac {\mathrm {i} \varphi }{2}}}\left|\downarrow \right\rangle$

Es stellt sich die Frage, wie es sich mit den Freiheitsgraden in beiden Darstellungen verhält. Auch wenn man zunächst meinen könnte, dass wir durch die Darstellung in Kugelkoordinaten zwei Freiheitsgrade eingebüßt haben (von 2 + 2 auf 1 + 1), so ist dies nicht der Fall.

In der Tat haben wir am Anfang schon blind angenommen, dass

• das Betragsquadrat jeder komplexen Linearkombination gleich 1 ist, sowie
• die globale Phase irrelevant ist.

Daher erhalten wir, auch wenn wir zunächst völlig frei wählbare komplexe Parameter $\alpha =\alpha _{x}+\mathrm {i} \alpha _{y}$ und $\beta =\beta _{x}+\mathrm {i} \beta _{y}$ nutzen, durch die genannten Bedingungen dennoch nur 2 Freiheitsgrade.

Angenommen, man möchte die drei Komponenten des Bloch-Vektors explizit berechnen, so hängen dessen Komponenten zum einen ganz klassisch mit der Transformation der Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten und zum anderen mit den Pauli-Matrizen in folgender Weise zusammen.

${\begin{aligned}s_{1}&=\sin \theta \cos \varphi =\left\langle \psi \right|\sigma _{1}\left|\psi \right\rangle \\s_{2}&=\sin \theta \sin \varphi =\left\langle \psi \right|\sigma _{2}\left|\psi \right\rangle \\s_{3}&=\cos \theta =\left\langle \psi \right|\sigma _{3}\left|\psi \right\rangle \end{aligned}}$

Geht es nun insbesondere um die Interpretation der dritten, vertikalen Komponente $s_{3}$, so kann man diese über die Relation

$s_{3}=\left\langle \left(c_{\text{e}}^{*},c_{\text{g}}^{*}\right)\right|{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\left|\left(c_{\text{e}},c_{\text{g}}\right)\right\rangle =\left|c_{\text{e}}\right|^{2}-\left|c_{\text{g}}\right|^{2}$

als eine Art Inversion auffassen. Wenn $s_{3}$ zum Beispiel positiv ist, so bedeutet das eine Besetzungsinversion, in der der angeregte Zustand stärker populiert ist als der Grundzustand.

Am Beispiel der Boltzmann-Statistik kann man nachvollziehen, weshalb bei Systemen im thermodynamischen Gleichgewicht die $s_{3}$ Komponente stets negativ sein muss. Mit dem Boltzmann'schen Gewichtungsfaktor $\mathrm {e} ^{-\beta \Delta E}$ gilt nämlich für die Besetzungswahrscheinlichkeiten

$p_{\text{e}}=p_{\text{g}}\,\mathrm {e} ^{-\beta \hbar \omega _{\text{A}}}<p_{\text{g}}$

Es bezeichnet $\omega _{\text{A}}$ dabei die Atomfrequenz - also die Schwingfrequenz zwischen den zwei beteiligten Energieniveaus und $\beta$ die inverse Temperatur $\beta =1/k_{\text{B}}T$.

Konventionen

Formelsammlung für ein zwei-Niveau-System mit den Zuständen $|e\rangle$ (“Spin rauf”) und $|g\rangle$ (“Spin runter”). Die folgenden Konventionen sind “natürlich”, werden aber nicht von allen Autorinnen und Autoren verwendet.

• komplexe Amplituden sind die Vorfaktoren vor dem Phasenfaktor ${\rm {e}}^{-{\rm {i}}\omega t}$. So entsteht etwa die komplexe Rabi-Frequenz aus dem elektrischen Feld: ${\tfrac {1}{2}}\hbar \Omega =-{\bf {d}}_{ge}^{*}\cdot {\vec {\cal {E}}}_{L}.$

• in der Abbildung von Kets (Operatoren) auf komplexe Vektoren (Matrizen) steht die Amplitude $c_{e}$ im Spaltenvektor “oben”: $c_{e}|e\rangle \mapsto {\begin{pmatrix}c_{e}\\0\end{pmatrix}}.$

• die Komponenten des Blochvektors $\mathbf {s}$ sind die Erwartungswerte der Pauli-Matrizen: $s_{i}=\langle \sigma _{i}\rangle .$

Gesuchte Formeln

siehe Diskussion