Der projektive Raum/Homogenes Polynom/Nullsein ist wohldefiniert/Fakt/Beweis

Beweis

Dies kann man auf den Fall eines Monoms vom Grad ${}d$ zurückführen. Für $X_{0}^{d_{0}}\cdots X_{n}^{d_{n}}$ mit $\sum _{i=0}^{n}d_{i}=d$ und ${}\lambda \in K$ gilt

${}(\lambda X_{0})^{d_{0}}\cdots (\lambda X_{n})^{d_{n}}=(\lambda ^{d_{0}}X_{0}^{d_{0}})\cdots (\lambda ^{d_{n}}X_{n}^{d_{n}})=\lambda ^{d}(X_{0}^{d_{0}}\cdots X_{n}^{d_{n}})\,.$

Zur bewiesenen Aussage