Determinante/Diagonale Blockmatrix/Links unten 0/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}A$ eine ${}k\times k$-Matrix, ${}k<n$. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${}k$. Bei ${}k=1$ ergibt sich die Aussage direkt aus der rekursiven Definition der Determinante. Zum Beweis des Induktionsschrittes von ${}k-1$ nach ${}k$ betrachten wir, gemäß der Definition

${}\det M=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}\,.$

Hier muss man nur die Summe bis ${}k$ betrachten, da die weiteren Einträge in der ersten Spalte gleich ${}0$ sind. Die Streichungsmatrizen ${}M_{i}$ sind von der Form

${\begin{pmatrix}A_{i}&B_{i}\\0&D\end{pmatrix}},$

wobei wieder die erste Spalte und die ${}i$-te Zeile gestrichen werden. Insbesondere sind dies wieder Blockmatrizen, wobei die ${}A_{i}$ jetzt ${}(k-1)\times (k-1)$-Matrizen sind, sodass wir darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Es ist also

${}{\begin{aligned}\det M&=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}\\&=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}a_{i1}{\left(\det A_{i}\cdot \det D\right)}\\&={\left(\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}a_{i1}\det A_{i}\right)}\det D\\&=\det A\cdot \det D,\end{aligned}}$

wobei wir links die rekursive Definition für ${}\det A$ verwendet haben.

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