Determinante/Körper/Rekursiv/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine ${}n\times n$-Matrix über ${}K$. Zu ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei ${}M_{i}$ diejenige ${}(n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in ${}M$ die erste Spalte und die ${}i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von ${}M$ durch

${}\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}\,$

Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert. Die in der Definition auftretenden Matrizen nennt auch Streichungsmatrizen. Für kleine ${}n$ kann man die Determinante einfach ausrechnen.

Beispiel

Für eine ${}2\times 2$-Matrix

${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,$

ist

$\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad-cb.$

Als Merkregel für eine ${}3\times 3$-Matrix verwendet man die Regel von Sarrus. Man wiederholt die erste Spalte als vierte Spalte und die zweite Spalte als fünfte Spalte. Die Produkte der durchgezogenen Diagonalen werden positiv genommen, die Produkte der gestrichelten Diagonalen negativ.

Beispiel

Für eine ${}3\times 3$-Matrix ${}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}$ ist

$\det {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}.$

Dies nennt man die Regel von Sarrus.

Lemma

Für eine obere Dreiecksmatrix

${}M={\begin{pmatrix}b_{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&b_{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{n-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&b_{n}\end{pmatrix}}\,$

ist

${}\det M=b_{1}b_{2}{\cdots }b_{n-1}b_{n}\,.$

Insbesondere ist für die Einheitsmatrix ${}\det E_{n}=1$.

Beweis

Dies folgt mit einer einfachen Induktion direkt aus der Definition der Determinante.

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