Determinante/Rekursiv/Alternierend/Vertauschungseigenschaft/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann besitzt die Determinante

$\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$

folgende Eigenschaften.

1. Wenn in ${}M$ zwei Zeilen übereinstimmen, so ist ${}\det M=0$. D.h., dass die Determinante alternierend ist.
2. Wenn man in ${}M$ zwei Zeilen vertauscht, so ändert sich die Determinante mit dem Faktor ${}-1$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen