Determinante/Rekursiv/Alternierend und andere Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1) folgt direkt aus Fakt.
(2) und (3) werden parallel durch Induktion über ${}n$ bewiesen, wobei es für ${}n=1$ nichts zu zeigen gibt. Es sei also ${}n\geq 2$ und ${}M={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=(a_{ij})_{ij}$. Die relevanten Zeilen seien ${}v_{r}$ und ${}v_{s}$ mit ${}r<s$. Nach Definition ist ${}\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}$. Nach Induktionsvoraussetzung für (2) sind dabei ${}\det M_{i}$ für ${}i\neq r,s$, da ja dann zwei Zeilen übereinstimmen. Damit ist

$\det M=(-1)^{r+1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}\det M_{s}.$

Die beiden Matrizen ${}M_{r}$ und ${}M_{s}$ haben die gleichen Zeilen, allerdings tritt die Zeile ${}z=v_{r}=v_{s}$ in ${}M_{r}$ als die ${}(s-1)$-te Zeile und in ${}M_{s}$ als die ${}r$-te Zeile auf. Alle anderen Zeilen kommen in beiden Matrizen in der gleichen Reihenfolge vor. Durch insgesamt ${}s-r-1$ Vertauschungen von benachbarten Zeilen kann man ${}M_{r}$ in ${}M_{s}$ überführen. Nach der Induktionsvoraussetzung für (3) unterscheiden sich daher die Determinanten um den Faktor ${}(-1)^{s-r-1}$, also ist ${}\det M_{s}=(-1)^{s-r-1}\det M_{r}$. Setzt man dies oben ein, so erhält man

${}{\begin{aligned}\det M&=(-1)^{r+1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}\det M_{s}\\&=(-1)^{r+1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}(-1)^{s-r-1}\det M_{r}s\\&=((-1)^{r+1}+(-1)^{2s-r})\det M_{r}\\&=((-1)^{r+1}+(-1)^{r})\det M_{r}\\&=0.\end{aligned}}$

Jetzt beweisen wir (3). Nach Teil (2) und aufgrund der Multilinarität ist

${}{\begin{aligned}0&=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}+v_{s}\\\vdots \\v_{r}+v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\\&=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{r}+v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{s}\\\vdots \\v_{r}+v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\\&=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{s}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{s}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\\&=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{s}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Zu (4) betrachten wir die Situation, wo zur ${}s$-ten Zeile das ${}\lambda$-fache der ${}r$-ten Zeile addiert wird, ${}r<s$. Aufgrund der schon bewiesenen Teile ist dann

${}\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}+\lambda v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\\lambda v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\lambda \det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\,.$

Zur bewiesenen Aussage