Determinante/Rekursiv/Beziehung zur Leibnizformel/Bemerkung

Die Determinante kann auch auf eine andere Art eingeführt werden, nämlich über die sogenannte Leibniz-Formel. Diese lautet für eine ${}n\times n$-Matrix ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$

${}\det M=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)}\,.$

Dabei wird über alle bijektiven Abbildungen (man spricht in diesem Zusammenhang von Permutationen) von ${}{\{1,\ldots ,n\}}$ auf sich summiert. Zu einer Permutation ${}\sigma$ ist das Signum (oder das Vorzeichen) ${}\operatorname {sgn} (\sigma )\in \{1,-1\}$ durch

${}\operatorname {sgn} (\sigma )=\prod _{i<j}{\frac {\sigma (j)-\sigma (i)}{j-i}}\,$

definiert.