Seien
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wobei wir die Einträge und die Streichungsmatrizen analog bezeichnen. Insbesondere ist also
und
. Wir beweisen die Aussage des Satzes durch Induktion nach
, wobei der Fall
klar ist. Für
ist
und
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![{\displaystyle {}\det {\tilde {M}}_{i}=\det M_{i}+\det M'_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/191f9797cea702a8e6ea7f04c7fd58565f4e634d)
nach Induktionsvoraussetzung. Für
ist
und es ist
.
Insgesamt ergibt sich
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\det {\tilde {M}}&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{\tilde {a}}_{i1}\det {\tilde {M}}_{i}\\&=\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}(\det {M}_{i}+\det {M}'_{i})+(-1)^{k+1}(a_{k1}+a'_{k1})(\det {\tilde {M}}_{k})\\&=\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}_{i}+\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}'_{i}+(-1)^{k+1}a_{k1}\det M_{k}+(-1)^{k+1}a'_{k1}\det M_{k}\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}_{i}+\sum _{i=1,\,i\neq k,\,}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}'_{i}+(-1)^{k+1}a'_{k1}\det M_{k}\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}_{i}+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a'_{i1}\det {M}'_{i}\\&=\det M+\det M'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e06286bc8884eccd419ac07f97b23a89bab3d87)
Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation beweist man ähnlich, siehe
Aufgabe.