Determinante/Rekursiv/Multilinear/Skalar/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach ${}n$, wobei der Fall ${}n=1$ klar ist. Es sei

${}M={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,,$

wobei wir die Einträge mit ${}a_{ij}$ bezeichnen, und

${}M'={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,,$

wobei wir die Einträge mit ${}a'_{ij}$ bezeichnen. Für ${}i\neq k$ ist ${}a'_{ij}=a_{ij}$ und nach Induktionsvoraussetzung ist

${}\det M'_{i}=s\det M_{i}\,.$

Für ${}i=k$ ist ${}a'_{kj}=sa_{kj}$ und

${}M'_{k}=M_{k}\,.$

Insgesamt ist somit

${}{\begin{aligned}\det M'&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{a'}_{i1}\det M'_{i}\\&=\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}{a'}_{i1}\det M'_{i}+(-1)^{k+1}{a'}_{k1}\det M'_{k}\\&=\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}{a}_{i1}s\det M_{i}+(-1)^{k+1}s{a}_{k1}\det M_{k}\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}s{a}_{i1}\det M_{i}\\&=s\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{a}_{i1}\det M_{i}\\&=s\det M.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe