Determinante und Volumen/Fläche/Parallelogramm/Aufgabe/Lösung

Zunächst wird der Flächeninhalt des äußeren Rechtecks bestimmt:

$U:=(x_{1}+x_{2})(y_{1}+y_{2})=x_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+x_{2}y_{2}$

Als nächstes werden die Flächeninhalte der Flächen A bis F aufgestellt:

${\begin{aligned}&A=F=y_{1}x_{2}\\\\&B=E={\frac {1}{2}}y_{1}x_{1}\\\\&C=D={\frac {1}{2}}y_{2}x_{2}\end{aligned}}$

Die Summe dieser Flächen ist:

$V:=A+B+C+D+E+F=2y_{1}x_{2}+y_{1}x_{1}+y_{2}x_{2}$

Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist somit:

${\begin{aligned}P:=U-V&=x_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+x_{2}y_{2}-2y_{1}x_{2}-y_{1}x_{1}-y_{2}x_{2}\\&=y_{2}x_{1}-x_{2}y_{1}\end{aligned}}$

Zur Überprüfung des Ergebnisses berechnen wir die Determinante der durch die Vektoren $(x_{1},y_{1})$ und $(x_{2},y_{2})$ definierten $2\times 2$-Matrix:

${\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}\end{vmatrix}}=x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}=P$

Man sieht schnell, dass die Determinante dem Flächeninhalt des Parallelogramms entspricht. $\blacksquare$

Das Vorzeichen der Determinante dreht sich um, wenn man die beiden Spaltenvektoren vertauscht.