Determinantenmultiplikationssatz/Diagonalmatrix/Aufgabe/Lösung

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}\,$

eine Diagonalmatrix und

${}N=(a_{ij})_{ij}\,$

eine beliebige quadratische Matrix. Die Produktmatrix ist

${}MN=(b_{ij})_{ij}\,$

mit

${}b_{ij}=d_{ii}a_{ij}\,,$

es wird also einfach jede Zeile von ${}N$ mit dem entsprechenden Diagonalelement multipliziert. Die Diagonalmatrix ${}M$ ist das Produkt der Diagonalmatrizen ${}D_{i}$, bei denen der ${}i$-te Diagonaleintrag gleich ${}d_{ii}$ ist und sonst jeder Diagonaleintrag gleich ${}1$ ist. Wir können also zum Beweis des Determinantenmultiplikationssatzes in diesem Fall annehmen, dass ${}M$ selbst von dieser Bauart ist. Dann entsteht ${}MN$ aus ${}N$ dadurch, dass eine bestimmte Zeile mit einer Zahl ${}s$ multipliziert wird und die anderen Zeilen unverändert übernommen werden. Die Beziehung

${}\det MN=s\det N=\det M\det N\,$

ergibt sich dann einfach aus der Multilinearität

der Determinante.

Zur gelösten Aufgabe