Dezimalbruch/Halbierung/Algorithmus/Korrektheit/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}z=\sum _{i=k}^{\ell }a_{i}10^{i}\,$

gegeben und es sei ${}a_{i}=2b_{i}+r_{i}$ mit ${}b_{i}\in \mathbb {N}$ und ${}r_{i}$ gleich ${}0$ oder ${}1$ und

${}c_{i}=b_{i}+5r_{i+1}\,.$

Da ${}a_{i}\leq 9$ ist, ist diese Zahl eine erlaubte Ziffer. Zum Nachweis der Korrektheit müssen wir einfach das Ergebnis ${}\sum _{i=k-1}^{\ell }c_{i}10^{i}$ mit ${}2$ multiplizieren und zeigen, dass man so ${}z$ zurückerhält. Es ist

${}{\begin{aligned}2\cdot {\left(\sum _{i=k-1}^{\ell }c_{i}10^{i}\right)}&=\sum _{i=k-1}^{\ell }2\cdot c_{i}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }2\cdot {\left(b_{i}+5r_{i+1}\right)}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }{\left(2b_{i}+10r_{i+1}\right)}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }2b_{i}10^{i}+\sum _{i=k-1}^{\ell }10r_{i+1}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }{\left(a_{i}-r_{i}\right)}10^{i}+\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i+1}10^{i+1}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }a_{i}10^{i}-\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i}10^{i}+\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i+1}10^{i+1}\\&=z-\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i}10^{i}+\sum _{j=k}^{\ell +1}r_{j}10^{j}\\&=z,\end{aligned}}$

wobei sich die beiden Summanden rechts wegheben, da ${}r_{k-1}$ und ${}r_{\ell +1}$ gleich ${}0$ sind.

Zur bewiesenen Aussage