Dezimalbruch/Zifferninvertierung/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung ${}\varphi$, die einen im Zehnersystem gegebenen Dezimalbruch

${}z=\sum _{i=m}^{n}a_{i}10^{i}\,$

auf

${}\varphi (z)=\sum _{i=m}^{n}a_{i}10^{-i}\,$

abbildet. Bei ${}\varphi (z)$ bezieht sich also die Ziffer ${}a_{i}$ nicht mehr auf ${}10^{i}$, sondern auf ${}10^{-i}$.

1. Berechne ${}\varphi (514,73)$.
2. Welche Dezimalbrüche werden unter ${}\varphi$ auf sich selbst abgebildet?
3. Gilt

   ${}\varphi (z+w)=\varphi (z)+\varphi (w)\,?$

4. Zeige, dass die Beziehung

   ${}\varphi (10^{k}\cdot z)={\frac {1}{10^{k}}}\cdot \varphi (z)\,$

   für alle Dezimalbrüche ${}z$ und ganze Zahlen ${}k$ gilt.

5. Ist ${}\varphi$ bijektiv? Was ist gegebenenfalls die Umkehrabbildung?

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