Dezimalbruchfolge/Divisionsalgorithmus/Zusammenfassung/Bemerkung

Eine Dezimalbruchfolge in einem angeordneten Körper ist eine Folge der Form

${}x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}=\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}=z_{0},z_{-1}z_{-2}z_{-3}\ldots z_{-n}\,$

mit ${}a_{n}\in \mathbb {Z}$ (bzw. mit Ziffern ${}z_{-i}\in \{0,1,\ldots ,9\}$) und mit

${}{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,.$

Eine solche Folge, also eine „Kommazahl“, muss im Allgemeinen nicht konvergieren. Wenn wir mit zwei positiven ganzen Zahlen ${}a,b$ starten und den Divisionsalgorithmus ${}a:b$ durchführen, um die Ziffern ${}z_{-i}$ zu erhalten, so konvergiert nach Fakt die zugehörige Dezimalbruchfolge

${}x_{n}=\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}\,$

gegen die rationale Zahl ${}{\frac {a}{b}}$.