Es sei eine Zifferndarstellung
(oder Dezimalentwicklung)
gegeben, wobei wir uns nur um Darstellungen der Form kümmern müssen. Es genügt zu zeigen, dass die zugehörige Folge
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eine
Cauchy-Folge
ist. Aufgrund der
Vollständigkeit
von besitzt dann die Zifferndarstellung einen eindeutigen Grenzwert, und dieser ist die durch die Zifferndarstellung bestimmte Zahl. Dazu betrachten wir die Differenz
(für )
wobei wir in der letzten Abschätzung verwendet haben, dass die Ziffern kleiner als sind. Nach
Aufgabe
gilt für die Summe rechts die Gleichheit
Bei gegebenem haben wir also für jedes
die Abschätzung
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Zu einem beliebig vorgegeben
finden wir zuerst ein mit
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und für
gilt dann
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