Modellierungsthema

Unser Modellierungsprojekt behandelt eine Fragestellung, die weltweit zum Problem werden könnte.

Mehr als die Hälfte der Bevölkerung in Afrika ist unter 20 Jahre alt - und steht somit noch vor oder am Beginn der Familiengründungsphase. Durch die immer bessere medizinische Versorgung, der immer höheren Lebenserwartung und der Altersstruktur der Bevölkerung herrscht ein hohes Bevölkerungswachstum. Vor allem Staaten, die südlich der Sahara liegen, haben es schwer, durch die hohen Bevölkerungszahlen ihre Einwohner mit den notwendigen Schul- und Arbeitsplätzen und Gesundheitseinrichtungen zu versorgen. Durch die geographische Lage des Landes sind auch die Wasserressourcen in Niger beschränkt und im Vergleich zu Deutschland gering (Deutschland: 1.321 m³ Frischwasser pro Kopf pro Jahr; Niger: 183 m³ Frischwasser pro Kopf pro Jahr; Stand 2014). In diesen Regionen, in denen die wirtschaftliche Entfaltungsmöglichkeit kaum vorhanden ist, sind Kinder wichtige Stützen für ihre Eltern. Somit sind viele Kinder gleichbedeutend mit der sozialen Absicherung.

Im Hinblick auf die konstant hohen Geburtenzahlen von durchschnittlich 7,001 Kindern von nigerischen Frauen (Stand 2017), wollen wir für dieses Land die Grenzen ausloten und uns das Bevölkerungswachstum unter Veränderung verschiedener Gesichtspunkte ansehen.

Mögliche einzuholende Daten

Einwohnerzahlen
Geburtenrate
Sterberate
Wasserressourcen

Ziele

Wir verfolgen mit unserem Modellierungsprojekt das Ziel, Aussagen über die zukünftige Bevölkerungsentwicklung in Niger treffen zu können. Dazu werden Faktoren des Landes, von welchen die Bevölkerung abhängig ist, betrachtet.

Niveauzuordnung

Es ist möglich, sich unser Modellierungsprojekt auf unterschiedlichen Bildungsstufen zu betrachten.

Sekundarstufe I

Datenauswertung
Erstellung eines Graphen in GeoGebra
Übertragung von Daten in Excel
Umgang mit Daten in Excel
Funktionsgraphen interpretieren können
Prozentrechnung

Sekundarstufe II

logistisches (beschränktes) Wachstum (Anwendung)
nicht lineare Regression mit Excel
Darstellung der Bevölkerungsentwicklung (logistisch) mit Geogebra
Interpretation der erhaltenen Daten

Universität

logistisches (beschränktes) Wachstum (Herleitung)
explizites Eulerverfahren
Skripte in Octave erstellen und nachvollziehen
lineare und nicht lineare Regression

Modellierungszyklen

Modellierungszyklus 1

Zielsetzung

Ziel dieses Modellierungszyklus ist es, die Bevölkerungsentwicklung in Niger in Abhängigkeit der Wasserressourcen darzustellen. Zum Vergleich betrachten wir uns diese auch in Deutschland.

Vorbereitung

Auf Abbildung 1 ist das Flussdiagramm zu sehen, welches die einzelnen Schritte des ersten Modellierungszyklus bis zur Erstellung des Verhulst Modells zeigt. Ein wichtiger Punkt stellte vor allem in diesem Zyklus die Datenrecherche dar.

Abb. 1: Flussdiagramm Modellierungszyklus 1

Daten

Zur Vorbereitung des ersten Modellierungszyklus werden zuerst mehrere verschiedene Daten und Statistiken gesichtet, welche die Bevölkerungszahlen Nigers aufführen. Zudem werden die Veränderungen der Einwohnerzahl, Geburten- und Sterberate beachtet. Dafür werden wir die unten abgebildete Grafiken 5 und 6 nutzen.

Recherche der Einwohnerzahlen in der Vergangenheit mithilfe von Statistiken
Diagramme erstellen durch ein Tabellenkalkulationsprogramm

Weiterhin führten wir eine Recherche durch, um Informationen über die Wasserressourcen in Niger und den Wasserverbrauch zu erhalten. Bezüglich des Wasserverbrauchs, welcher nötig ist, um Essen, Hygiene und die persönliche Leistungsfähigkeit zu gewährleisten sowie um Krankheiten zu vermeiden, gibt die UN einen Wert von 50l pro Kopf pro Tag an. Für die folgenden Berechnungen nehmen wir anfangs die Einschätzung des Wasserverbrauchs an, jedoch werden wir dann im Folgenden den Wert des Wasserverbrauchs variieren, da die Bevölkerung in Niger, wie in den meisten Ländern Afrikas, einen geringeren Wasserverbrauch im Durchschnitt aufweist.

Verfahren

Abb. 2: Einwohnerzahlen Deutschland von 2000 bis 2018; uelle: https://data.worldbank.org/indicator/SP.POP.TOTL?locations=DE&view=chart

Des Weiteren haben wir uns, um die Berechnungen durchführen zu können, mit dem Verfahren der linearen Regression beschäftigt. Die Regression (nicht nur die lineare) wird in allen unseren Modellierungszyklen eingesetzt. Daher wollen hier kurz auf die Idee des Verfahrens eingehen. Als Beispiel dient die Entwicklung der Einwohnerzahlen Deutschlands von 2000 bis 2018. Die Einwohnerzahlen nach Jahr sind in der folgenden Tabelle (Abbildung 2) dargestellt. Um die Daten später besser mithilfe von Geogebra darstellen zu können, werden die Jahre ausgehend von dem Jahr 2000, welches als Jahr 0 gesetzt wird, gezählt und die Bevölkerung wird in 10.000.000 angegeben.

Bei einer Regression wird immer das Ziel verfolgt, aus einer Reihe von Datenpunkten eine Funktion zu generieren, welche diese Datenpunkte möglicht gut darstellt.

In unserem Beispiel haben wir 19 Datenpunkte. Betrachtet man diese, so lassen sich keine großen Schwankungen feststellen. Die Werte liegen höchstens 0,27 auseinander.

Daher empfiehlt es sich in diesem Fall eine lineare Regression durchzuführen. Dies bedeutet, dass wir eine lineare Funktion mit der Form f(x) =m·x + b suchen, welche die Werte möglichst gut darstellt. Es wird nicht vorkommen, dass alle Datenpunkte auf dieser Geraden liegen, da es sich um reale Daten handelt, die keine mathematische Funktion befolgen. Dies bedeutet:

Gesucht ist eine lineare Funktion, bei der die Funktionswerte f(x_i) von den y-Werten der Datenpunkt y_i minimal abweichen, also den geringsten Abstand f(x_i) - y_i haben ( i = 0,1,2,...,18). Ist die Summe der Abstände aller Datenpunkte von den jeweiligen Funktionswerten minimal, so ist die gesuchte lineare Funktion gefunden. Wenn die Datenpunkte ober- und unterhalb der gefundenen Funktion liegen, gibt es positive und negative Abstände, wodurch sie sich in der Summe gegeneinander aufheben könnten. Um dies zu vermeiden, werden nicht die Abstände aufsummiert, sondern die Quadrate der Abstände, welche dann alle positiv sind. Daher wird die lineare Regression auch die Methode der kleinsten Quadrate genannt.

In den Abbildungen 3 und 4 sind die Datenpunkte aus unserem Beispiel in Geogebra dargestellt. Des Weiteren ist jeweils ein Schieberegler für die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b der gesuchten linearen Funktion zu sehen, sowie die Quadrate der Abstände der Datenpunkte von den Funktionswerten. Lässt man einen Schieberegler konstant und bewegt den zweiten, lässt sich mithilfe des Quadrates v20 erkennen, ob die Quadrate der Abstände sich vergrößern oder verkleinern. In den folgenden Abbildungen (3 und 4) ist dieser Vorgang dargestellt, wobei einmal die Steigung konstant bleibt und einmal der y-Achsenabschnitt.

Abb. 3: Methode der kleinsten Quadrate (m konstant)

Abb. 4: Methode der kleinsten Quadrate (b konstant)

Erste eingeholte und errechnete Daten

Um die Entwicklung der Bevölkerung darzustellen, haben wir sowohl eine Tabelle mithilfe von Excel erstellt, als auch eine graphische Darstellung mit Geogebra. In Abbildung 5 sind die Bevölkerungszahlen in Niger zwischen 1960 und 2018 aufgelistet. Zusätzlich haben wir die Wachstumsrate (in Prozent) für jedes Jahr ab 1961 berechnet, indem die Differenz aus der Bevölkerungszahl des aktuellen Jahres und des vergangenen Jahres gebildet, mit 100 multipliziert und anschließend durch die Einwohnerzahl des vergangenen Jahres dividiert wurde. Abbildung 6 wurde mithilfe von Geogebra erstellt. Dazu wurde die bereits erstellte Tabelle in eine Punktliste umgewandelt und anschließend mit der Funktion spline dargestellt. Durch die Abbildung lässt sich die Vermutung aufstellen, dass eine exponentielle Funktion die Bevölkerungsentwicklung im Zeitraum 1960 bis 2018 am besten darstellen wird.

Abb. 6: Darstellung der eingeholten Daten mit Geogebra; Quelle: https://data.worldbank.org/indicator/SP.POP.TOTL?locations=NE&view=chart

Abb. 5: Bevölkerungszahlen Niger 1960-2018; Quelle: https://data.worldbank.org/indicator/SP.POP.TOTL?locations=NE&view=chart

In diesem Modellierungszyklus nehmen wir an, dass die Wasserressourcen jährlich konstant sind.

Wasserbedarf pro Kopf pro Tag (benötigt)	50 l = 0,05 m³
Wasserressourcen pro Kopf pro Jahr (2014)	183 m³
Einwohnerzahl (1960)	3388764

Zu beachten ist, dass die Wasserqualität nicht bekannt ist. Beispielsweise wird in Arlit Uran abgebaut, wodurch das Wasser in dieser Region kontaminiert ist. In die Berechnungen kann dieser Faktor nicht einfließen, da dazu keine genauen Daten existieren.

Berechnungen

Ermittlung der Grenze

Die Grenze wurde mithilfe der Daten der oben stehenden Tabelle ermittelt. Dazu wird mit der Angabe der benötigten Wassermenge der UN von 50l beziehungsweise 0,05 m³ Wasser pro Kopf pro Tag der Jahresbedarf einer Person berechnet: 0,05 m³· 365 = 18,25 m³

Anschließend wird mithilfe der Einwohnerzahl in unserem Anfangsjahr 1960 (3388764 Einw.) und den recherchierten Wasserressourcen pro Kopf pro Jahr (183 m³, Stand 2014) die gesamten Wasserressourcen des Landes pro Jahr berechnet: 3388764 · 183 m³ = 620143812 m³

Mithilfe der Wasserressourcen des Landes pro Jahr und dem Jahresbedarf an Wasser pro Kopf, kann nun die Bevölkerungsgrenze ermittelt werden: 620143812m³ ÷ 18,25m³ = 33980482,85 (Einw.)

Somit ergibt sich durch Ergänzen die folgende Tabelle:

Wasserbedarf pro Kopf pro Tag (benötigt)	50 l = 0,05 m³
Wasserbedarf pro Kopf pro Jahr (benötigt)	18,25 m³
Wasserressourcen pro Kopf pro Jahr (2014)	183 m³
Einwohnerzahl (1960)	3388764 (Einw.)
Wasserressourcen Gesamtbevölkerung pro Jahr	620143812 m³
Bevölkerungsgrenze	33980482,85 (Einw.)

Da die Grenze vom Wasserbedarf einer Person pro Tag abhängt, können die obigen Werte auch in Abhängigkeit dazu dargestellt werden. Wir wählen uns t als Variable für den täglichen Wasserbedarf einer Person in m³. Damit ergibt sich folgende Funktion für die Grenze:

g(t)={\frac {620143812m^{3}}{{t}\cdot {365}}}

Hiermit lässt sich zu jedem täglichen Wasserbedarf eine Grenze der Bevölkerungszahl finden.

nicht lineare Regression mit Excel (exponentiell)

Die nicht lineare Regression wird für das spätere Verhulst-Modell benötigt. Diese lässt sich auf zwei verschiedene Varianten ermitteln:

Einmal mithilfe der exponentiellen Trendlinienfunktion von Excel oder mithilfe der exponentiellen Regression.

1. nicht lineare Regression mithilfe der Excelfunktion

Abb. 7: Nicht lineare Regression (exponentiell) mit Excel

Für die erste Variante wird in Excel eine Tabelle mit den Jahreszahlen und den zugehörigen Einwohnerzahlen erstellt. Diese wird markiert und dann durch das Programm gezeichnet. Anschließend wird mit einem Rechtsklick auf den Graphen die exponentielle Trendlinienfunktion ausgewählt. Dies ist auch in Abbildung 7 zu sehen.

Excel gibt folgende Regressionsfunktion an:

r(x)={{1,14544039994918}\cdot {10^{-21}}}\cdot {e^{{0,032244492953072}\cdot {x}}}

Hierbei gibt die Variable x die Zeit in Jahren an. Das Bestimmtheitsmaß beträgt circa 0,996.

2. nicht lineare Regression (exponentiell, kleinschrittig)

Für die zweite Variante ist es auch sinnvoll aufgrund der großen Datenmenge mit Excel zu arbeiten.

Gesucht wird eine nicht lineare Funktion, in unserem Fall eine Exponentialfunktion mit der Form

f(x)={c}\cdot {e^{ax}}

Nun bezeichnet man f(x) mit y(x), also:

y(x)={c}\cdot {e^{ax}}

.

Die Transformation erfolgt durch Logarithmieren mit dem natürlichen Logarithmus. Man erhält dann die folgende Gleichung:

ln(y(x))=ln(c)+{a}\cdot {x}

Wir bezeichnen ab diesem Schritt

ln(y(x))=y^{*};ln(c)=\gamma ;x=x^{*}

und erhalten damit einen linearen Zusammenhang:

y^{*}={a}\cdot {x^{*}}+\gamma

(1)

Um eine eindeutige lineare Funktion zu erhalten müssen die Steigung a und der y-Achsenabschnitt γ bestimmt werden. Die Steigung a erhalten wir durch den Quotient aus S_x*y* und S_x*x*. Wobei gilt:

S_{x^{*}y^{*}}=\sum _{i=1}^{N}{{(y_{i}-{\bar {y}})}\cdot {(x_{i}-{\bar {x}})}}

und

S_{x^{*}x^{*}}=\sum _{i=1}^{N}{(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}

(

{\bar {x}}

und

{\bar {y}}

sind dabei die jeweiligen Durchschnittswerte).

Damit ergibt sich

a={\tfrac {S_{x^{*}y^{*}}}{S_{x^{*}x^{*}}}}=0,032244492953072

.

γ berechnet sich durch Umstellen der Gleichung (1), wobei für x* und y* immer die Durchschnittswerte verwendet werden. Damit ergibt sich:

\gamma ={\bar {y^{*}}}-{a}\cdot {\bar {x^{*}}}=-48,2184977610429

Die eindeutige lineare Funktion der transformierten Werte muss nun wieder retransformiert werden. Da a durch die Transformation nicht verändert wurde, muss nur γ retransformiert :werden.

\gamma =ln(c)\Leftrightarrow c=e^{\gamma }={1,14544039994914}\cdot {10^{-21}}

Damit erhalten wir als Regressionsfunktion genau die Gleichung, welche durch Excel auch berechnet wurde.

Abb. 8: Berechnung nicht lineare Regression (Teil 1)

Abb. 9: Berechnung nicht lineare Regression (Teil 2)

Verhulst-Modell (logistisches Wachstum)

Mithilfe des Verhulst-Modells wollen wir nun das Bevölkerungswachstum in Abhängigkeit des täglichen Wasserverbrauchs t, also ein beschränktes Wachstum, in Niger darstellen.

Da die Bevölkerungsänderung proportional zum Bestand und der freien Kapazität ist, ergibt sich:

E'(x)={a}\cdot {E(x)}-{b}\cdot {E^{2}(x)}={b}\cdot {E(x)}\cdot {({\frac {a}{b}}-E(x))}

Durch Berechnung der Differentialgleichung erhält man schließlich folgenden Funktion:

E(x)={\frac {{a}\cdot {E_{\text{0}}}}{{b}\cdot {E_{\text{0}}}+{(a-{b}\cdot {E_{\text{0}}})}\cdot {e^{-a(x-x_{\text{0}})}}}}

Die nachfolgenden Werte haben wir bereits aus den vorherigen Berechnungen erhalten:

E₀ (Einwohnerzahl 1960)	3388764
a (Reproduktionsrate)	0,03224
a/b bzw. g(t) (Sättigungsgrenze/Bevölkerungsgrenze)	33980482,85
x₀ (Anfangsjahr)	1960

Zur Verwendung des Verhulst-Modells berechnen wir nun noch den Parameter b, welchen wir mithilfe der Funktion

E'(x)={b}\cdot {E(x)}\cdot {({\frac {a}{b}}-E(x))}

erhalten, indem wir den dritten Faktor Null setzen:

0={({\frac {a}{b}}-E(x))}

⇔

{\frac {a}{b}}=E(x)

⇔

b={\frac {a}{E(x)}}

Es ergibt sich also:

b={\frac {a}{E(x)}}={\frac {0,03224}{33980482,85}}=9,48779925905316\cdot 10^{-10}

Fügen wir nun alle bekannten Werte in die Funktion ein, erhalten wir:

E(x)={\frac {{0,03224}\cdot {3388764}}{{{9,48779925905316\cdot 10^{-10}}\cdot {3388764}}+{(0,03224-{9,48779925905316\cdot 10^{-10}}\cdot {3388764})}\cdot {e^{-0,03224(x-1960)}}}}={\frac {109253,75136}{{0,0032151913}+{0,0290248087}\cdot {e^{-0,03224(x-1960)}}}}

Mit dieser Funktion ist es uns möglich, sowohl die bisherige, als auch die zukünftige Bevölkerungsentwicklung zu berechnen. Dieser Berechnung liegt ein täglicher Wasserverbrauch von 50l (also t = 0,05 m³) am Tag zugrunde. Der Graph der Funktion ist mithilfe von Geogebra in Abbildung 10 dargestellt.

Abb. 10: Logistisches Wachstum in Abhängigkeit vom Tageswasserverbrauch pro Kopf-Annahme:Wasserverbrauch 0,05 m³

Mithilfe der weiter oben berechneten Bevölkerungsgrenze

g(t)={\frac {620143812m^{3}}{{t}\cdot {365}}}

lässt sich die Formel auch für einen beliebigen Wasserverbrauch berechnen.

E₀ (Einwohnerzahl 1960)	3388764
a (Reproduktionsrate)	0,03224
a/b bzw. g(t) (Sättigungsgrenze/Bevölkerungsgrenze)	$g(t)={\frac {620143812m^{3}}{{t}\cdot {365}}}$
x₀ (Anfangsjahr)	1960

Mit dem weiter oben berechneten Parameter b ergibt sich:

b={\frac {a}{E(x)}}={\frac {a}{g(t)}}={\frac {0,03224}{\frac {620143812m^{3}}{{t}\cdot {365}}}}={\frac {11,7676\cdot {t}}{620143812m^{3}}}

.

Wir erhalten also folgende Funktion:

E(x)={\frac {{0,03224}\cdot {3388764}}{{{\frac {11,7676\cdot {t}}{620143812m^{3}}}\cdot {3388764}}+{(0,03224-{\frac {11,7676\cdot {t}}{620143812m^{3}}}\cdot {3388764})}\cdot {e^{-0,03224(x-1960)}}}}

Mithilfe dieser Funktion lässt sich schließlich das beschränkte Wachstum in Abhängigkeit von Zeit und täglichem Wasserverbrauch pro Kopf in m³ modellieren. Auf Abbildung 11 wurde dieser Wasserverbrauch mit dem Schieberegler t, der sich zwischen 10 l (= 0,01m³) und 100 l (= 0,1 m³) in zehner Schritten bewegt, in Geogebra dargestellt.

Abb. 11: Logistisches Wachstum in Abhängigkeit vom Tageswasserverbrauch pro Kopf

Fazit

Abschließend ist als Fazit festzuhalten, dass nach unserem Modell die Bevölkerungsgrenze in Niger bei einem täglichen Wasserverbrauch von 50 l pro Person annähernd 250 Jahre nach 1960 also, im Jahr 2210 erreicht wird. Anhand der Abbildung 11 mit dem Schieberegler ist zu erkennen, dass je höher der Tagesverbrauch ist, desto früher wird die Bevölkerungsgrenze erreicht. Wichtig in der Beurteilung dieses Modelles ist, dass der Anteil des verunreinigten Wassers am Gesamtwasservorkommen nicht bekannt ist.

Vergleich

Um die erhaltenen Daten einordnen zu können, stellen wir nun die Entwicklung der deutschen Bevölkerung in Abhängigkeit der deutschen Wasserressourcen dar. Hier wird das bereits verwendete Verhulst-Modell angewandt. Dafür berechnen wir wie auch zuvor für die Bevölkerung in Niger die Bevölkerungsgrenze, indem die Wasserressourcen pro Kopf pro Jahr auf die Gesamtbevölkerung im Jahr 1960 hochgerechnet werden und dann durch den Wasserbedarf pro Kopf pro Jahr dividiert werden:

$g={\frac {{1321m^{3}}\cdot {72814900}}{44,895m^{3}}}=2142521058$

Die wichtigen Daten sind in der folgenden Tabelle dargestellt.

Wasserbedarf pro Kopf pro Tag (benötigt)	123 l = 0,123 m³
Wasserbedarf pro Kopf pro Jahr (benötigt)	44,895 m³
Wasserressourcen pro Kopf pro Jahr (2014)	1321 m³
Einwohnerzahl (1960)	72814900
Bevölkerungsgrenze g	2142521058

Im Folgenden wird allerdings die Reproduktionsrate a Nigers benutzt, da mit der Reproduktionsrate Deutschlands die Bevölkerungsgrenze nicht erreicht wird. Der Grund dafür liegt darin, dass das Bevölkerungswachstum in Deutschland stagniert beziehungsweise zum Teil rückläufig ist. In Deutschland liegt seit einigen Jahren folgende Situation vor: Die Sterberate liegt über der Geburtenrate, wodurch die Einwohnerzahl sinkt. Gleichzeitig gibt es mehr Zuzüge als Abwanderungen in Deutschland, was dazu führt, dass der durch Geburten- und Sterberate hervorgerufene Effekt minimiert wird.

Demnach wird b aus dem Quotienten der Reproduktionsrate und der Bevölkerungsgrenze berechnet.

$b={\frac {a}{E(x)}}={\frac {0,03224}{2142521058}}=1,50476934075483\cdot 10^{-11}$

Nach dem Einsetzen der berechneten Werte in das Verhulst-Modell gilt für die Gesamtfunktion:

E(x)={\frac {{0,03224}\cdot {72814900}}{{{1,50476934075483\cdot 10^{-11}}\cdot {72814900}}+{(0,03224-{1,50476934075483\cdot 10^{-11}}\cdot {72814900})}\cdot {e^{-0,03224(x-1960)}}}}

Der Graph der Funktion wird in Abbildung 12 mithilfe von Excel dargestellt.

Abb. 12: Entwicklung der deutschen Bevölkerung in Abhängigkeit der Wasserressourcen

Zu erkennen ist, dass die Bevölkerungsgrenze in Deutschland ungefähr im Jahr 2210 unter Verwendung der nigerschen Reproduktionsrate annähernd erreicht wird.

Reflexion

In diesem Modellierungszyklus wurde ein Modell zur Bevölkerungsentwicklung in Niger anhand des täglichen Wasserbedarfes pro Kopf entwickelt. Allerdings wurden einige wichtige Einflussfaktoren vernachlässigt. Einer dieser zentralen Einflussfaktoren ist der Klimawandel. Durch die globale Erwärmung wird es zu einer größeren Verdunstung der Wassermassen und damit zu einer Verringerung der Wasserressourcen kommen. Des Weiteren wird bei steigenden Temperaturen der Wasserbedarf pro Kopf ansteigen. Ein weiterer Faktor, der vernachlässigt wurde, ist die mögliche Veränderung der Wasserqualität beziehungsweise Wasseraufbereitung, die zwei Möglichkeiten bietet. Die erste Möglichkeit ist die Erweiterung des Uranabbaus, welcher in Arlit und der näheren Umgebung bereits zu kontaminiertem Wasser führte. Somit bliebe noch weniger Wasser für die Wasserversorgung der Einwohner. Die zweite Möglichkeit ist die Entwicklung von Niger zu einem Industrieland, was eine bessere Wasseraufbereitung und -versorgung ermöglichen würde.

Abb. 13: Vergleich Rohdaten mit den berechnten Daten

Durch die nicht lineare Regression, welche eine exponentielle Funktion mit einem Bestimmtheitsmaß von circa 0,996 lieferte, wurde die Reproduktionsrate a für das Modell erhalten. Das Bestimmtheitsmaß zeigt, dass die Annäherung sehr gut ist und damit auch die Reproduktionsrate. Diese wurde dann in der mathematischen Modellierung mit dem Verhulst-Modell als konstant angenommen. In der Realität verändert sich die Wachstumsrate jedoch jedes Jahr und bleibt nicht konstant. In dem Modellierungszyklus 3 betrachten wir dann die Entwicklung der Bevölkerung mit Reproduktionsraten, welche nicht konstant angenommen werden.

Vergleicht man die mit dem Verhulst-Modell erhaltenen Daten mit den Rohdaten, so lässt sich erkennen, dass die ersten 30 Jahre also bis circa 1990 die Daten nahe beieinander liegen. Danach steigen die Bevölkerungszahlen in Niger in der Realität sehr stark und auch wesentlich stärker als in unserem Modell. Weshalb anzunehmen ist, dass die Grenze wesentlich früher erreicht wird als in unserem Modell berechnet. Beispielhaft werden die Daten im Jahr 2018 verglichen. Laut den Rohdaten leben im Jahr 2018 22.442.948 Menschen in Niger. Nach unseren Berechnungen jedoch nur 14.209.173,45. Dieser Wert entspricht näherungsweise dem Rohdatenwert von 2006. Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass die Rohdaten nicht ausreichend gut angenähert werden, weshalb wir unsere Modellierung im Folgenden optimieren wollen.

Optimierung

Mithilfe der erstellten Exceldatei variieren wir den täglichen Wasserverbrauch pro Kopf, um die beste Annäherung des Verhulst Modells an die Rohdaten zu ermitteln. Im oberen Abschnitt haben wir festgestellt, dass der von der UN angesetzte Tagesbedarf von 50 l pro Kopf nicht der Lage in Niger entspricht. Im Folgenden betrachten wir den täglichen Wasserverbrauch einer Person von 1 l und 5 l.

Abb. 14: Bevölkerungswachstum bei täglichem Wasserverbrauch von 1 l pro Kopf

Abb. 15: Bevölkerungswachstum bei täglichem Wasserverbrauch von 5 l pro Kopf

Als Erstes betrachten wir die Bevölkerungsentwicklung Nigers vor dem Hintergrund eines täglichen Wasserverbrauchs von einem Liter pro Person. Bei diesem Wert liegt eine durchschnittliche Abweichung der berechneten Daten von den Rohdaten von 496.433,34 Einwohnern vor. Jedoch ist Annahme eines Tagesverbrauch von 1 l sehr unrealistisch, da dies nicht einmal den täglichen Trinkwasserbedarf einer Person deckt.

Bei einem täglichen Wasserverbrauch von 5 l pro Kopf liegt die durchschnittliche Abweichung bei 466.375,25 Einwohnern. Dieser Wert lässt vermuten, dass diese Annäherung besser als die Annäherung bei der Annahme von 1 l als Tagesverbrauch ist. Vergleicht man zusätzlich die Werte ab circa 2010, so lässt sich anhand der Graphen erkennen, dass die Entwicklung der Bevölkerung in Niger (Rohdaten) in den letzten Jahren durch das 1-l-Modell besser als durch das 5-l-Modell darstellt wird. Nimmt man an, dass die Bevölkerung zukünftig weiterhin mit einer hohen Wachstumsrate wächst, folgt, dass das 1-l-Modell die zukünfktige Bevölkerungsentwicklung etwas besser repräsentiert als das 5-l-Modell.

Abb. 16: Verhulst Modell bei einem Tagesbedarf von 5 l pro Person

Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass die Annahme eines täglichen Wasserverbrauchs von 5 l pro Kopf wesentlich realistischer ist, als die Annahme von 1 l pro Kopf pro Tag. Mit dem Wert von 5 l wäre der tägliche Trinkwasserbedarf gedeckt und es stände noch Wasser für die Hygiene, etc. zur Verfügung. Außerdem haben wir durch den Vergleich festgestellt, dass sich die mittleren Abweichungen der beiden Modelle nur geringfügig unterscheiden.

Bei einem angenommenen Tagesbedarf von 5 l wird, wie in Grafik 16 zu sehen, die Bevölkerungsgrenze von 339.804.828,5 circa im Jahr 2335 erreicht.